Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 23 sty 2009, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Witam. Mam zadanie które na pierwszy rzut oka nie wydaje się trudne, aczkolwiek moje rozumowanie i wynik nie zgadza sie z rozumowaniem autorów książki mianowicie:
zad.1
Rzucamy symetryczną monetą tak długo, dopóki dwa razy pod rząd nie upadnie na tę samą stronę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że doświadczenie zakończy się co najmniej po n rzutach.
Zadanie z matury 1993 bodajże
zad.1
Rzucamy symetryczną monetą tak długo, dopóki dwa razy pod rząd nie upadnie na tę samą stronę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że doświadczenie zakończy się co najmniej po n rzutach.
Zadanie z matury 1993 bodajże
- enigm32
- Użytkownik
- Posty: 596
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 99 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Przestrzeń zdarzeń elementarnych wyglądałaby tak:krzysiekm13 pisze:zad.1 Rzucamy symetryczną monetą tak długo, dopóki dwa razy pod rząd nie upadnie na tę samą stronę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że doświadczenie zakończy się co najmniej po n rzutach.
{{O,O}, {R,R}, {O,R,R}, {R,O,O}, {R,O,R,R}, {O,R,O,O},...}
Prawdop. każdego zdarzenia wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2^k}}\), gdzie k - ilość rzutów
No i teraz albo przeciwnym, albo z szeregu geom.:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}+...=\frac{1}{2^{n-2}}}\)
Zgadza się?-- 29 marca 2009, 14:36 --
No nie wiem, czy to dobry pomysł...mr_crazy pisze:schemat Bernoulliego jak nic:P
Jak chciałbyś użyć tu schematu B.?
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 23 sty 2009, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
nie zgadza się niestety... Ja głowiłem się nad tym z mamą matematyczką i doszliśmy do tego co ty bodajże, a autorzy zaskoczyli nas innym wynikiem.
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 15 kwie 2007, o 14:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Pomógł: 5 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Prawdopodobieństwo tego, że doświadczenie nie skończy się po n rzutach wynosi \(\displaystyle{ 2(\frac{1}{2})^n}\). Ta 2 na początku jest stąd, że albo rzucanie zacznie się od orła albo od reszki.
No to ostatecznie wychodzi że \(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}}\).
No to ostatecznie wychodzi że \(\displaystyle{ P(A) = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}}\).
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
enigm32 - nie wiem nie probowalem zrobic, ostatnecznie zabralem sie do roboty zwykla kombinatoryka i wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{2^{n} - 2 }{2^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2^{n} - 2 }{2^{n}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Prawdopodobieństwo:
1. Zdarzenia \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\) są parami niezależne i jednocześnie nie zachodzą. Prawdopodobieństwo zachodzenia zdarzeń \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\)jest równe \(\displaystyle{ p}\). Zbadaj przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(p)}\) w zależności od \(\displaystyle{ p}\).
2. Udowodnij, że jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\) są niezależne to zdarzenia \(\displaystyle{ A \cup B}\) i \(\displaystyle{ C}\) też są niezależne.-- 29 marca 2009, 18:53 --3. W pierwszej urnie znajdują sie 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej 1 biała i 4 czarne. Z urny pierwszej przenosimy jedną kulę do drugiej (bez oglądania), a następnie z drugiej losujemy 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwzsym losowaniu pobrano kulę białą, jeśli wiadomo, że w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną?
1. Zdarzenia \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\) są parami niezależne i jednocześnie nie zachodzą. Prawdopodobieństwo zachodzenia zdarzeń \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\)jest równe \(\displaystyle{ p}\). Zbadaj przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(p)}\) w zależności od \(\displaystyle{ p}\).
2. Udowodnij, że jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\) są niezależne to zdarzenia \(\displaystyle{ A \cup B}\) i \(\displaystyle{ C}\) też są niezależne.-- 29 marca 2009, 18:53 --3. W pierwszej urnie znajdują sie 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej 1 biała i 4 czarne. Z urny pierwszej przenosimy jedną kulę do drugiej (bez oglądania), a następnie z drugiej losujemy 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwzsym losowaniu pobrano kulę białą, jeśli wiadomo, że w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną?
- enigm32
- Użytkownik
- Posty: 596
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 99 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Z zasady włączeń i wyłączeń (dla 3 zdarzeń nietrudno wyprowadzić też):szymek12 pisze: 1. Zdarzenia \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\) są parami niezależne i jednocześnie nie zachodzą. Prawdopodobieństwo zachodzenia zdarzeń \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\)jest równe \(\displaystyle{ p}\). Zbadaj przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(p)}\) w zależności od \(\displaystyle{ p}\).
\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C)-P(C \cap A)+P(A \cap B \cap C)=-3p^2+3p=P(p)}\)
Badanie przebiegu zmienności to już zabawa, szczególnie, że to funkcja kwadratowa.
-- 29 marca 2009, 19:15 --
\(\displaystyle{ P((A \cup B) \cap C)=P((A \cap C) \cup (B \cap C))=P(A \cap C)+P(B \cap C)-P(A \cap B \cap C)=P(A) \cdot P(C)+P(B) \cdot P(C)-P(A )\cdot P(B) \cdot P(C)=P(C)\cdot (P(A)+P(B)-P(A \cap B))=P(C) \cdot P(A \cup B)}\)szymek12 pisze: 2. Udowodnij, że jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\) są niezależne to zdarzenia \(\displaystyle{ A \cup B}\) i \(\displaystyle{ C}\) też są niezależne.
, c.b.d.u.
-- 29 marca 2009, 19:29 --
\(\displaystyle{ B_1}\) - w 1. losowaniu wybrano kulę czarnąszymek12 pisze: 3. W pierwszej urnie znajdują sie 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej 1 biała i 4 czarne. Z urny pierwszej przenosimy jedną kulę do drugiej (bez oglądania), a następnie z drugiej losujemy 1 kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwzsym losowaniu pobrano kulę białą, jeśli wiadomo, że w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną?
\(\displaystyle{ B_2}\) - -||- białą
\(\displaystyle{ A}\) - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną
\(\displaystyle{ P(B_2|A)=\frac{P(B_2 \cap A)}{P(A)}=\frac{P(B_2) \cdot P(A|B_2)}{P(B_1) \cdot P(A|B_1)+P(B_2) \cdot P(A|B_2)}}\)
Z podstawieniem już chyba nikt nie będzie miał kłopotów. -- 29 marca 2009, 19:31 --Nad tym zadaniem z monetą to się jeszcze zastanowię, bo nie jestem przekonany.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 23 sty 2009, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Czyli widzę że jednak nie takie oczywiste jest to zadanie skoro zwróciłem uwagę takiego matematyka jak enigm32
-
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
1. \(\displaystyle{ 93 \frac{1}{3}}\)%pewnych wyrobów nadaje się do użytku, w tym \(\displaystyle{ 75}\)% jest pierwszego gatunku. Oblicz szansę tego, że pobierając w sposób losowy \(\displaystyle{ 3}\) wyroby(ze zwracaniem), dwa będą pierwszego gatunku.
2. Prawdopodobieństwo trafienia celu przy jednym strzale wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) . Ile strzałów należy oddać, aby z prawdopodobieństwem równym co najmniej \(\displaystyle{ 0,8}\) cel był trafiony co najmniej dwa razy?
2. Prawdopodobieństwo trafienia celu przy jednym strzale wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) . Ile strzałów należy oddać, aby z prawdopodobieństwem równym co najmniej \(\displaystyle{ 0,8}\) cel był trafiony co najmniej dwa razy?
Ostatnio zmieniony 30 mar 2009, o 19:35 przez szymek12, łącznie zmieniany 1 raz.
- lina2002
- Użytkownik
- Posty: 599
- Rejestracja: 27 mar 2008, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 151 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Robimy zdarzenie przeciwne \(\displaystyle{ A'}\) - cel trafiony 0 lub 1 raz. \(\displaystyle{ n}\) - liczba strzałów. Ze schematu Bernoulliego:szymek12 pisze: 2. Prawdopodobieństwo trafienia celu przy jednym strzale wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) . Ile strzałów należy oddać, aby z prawdopodobieństwem równym co najmniej \(\displaystyle{ 0,8}\) cel był trafiony co najmniej dwa razy?
\(\displaystyle{ P(A') ={n\choose 0} \cdot \frac{1}{2 ^{n} }+{n\choose 1} \cdot \frac{1}{2 ^{n} } = \frac{n+1}{2 ^{n} }}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ P(A)\geqslant0,8\iff P(A')\leqslant0,2}\)
Tak więc \(\displaystyle{ 5n+5\leqslant 2 ^{n}}\). Z tego \(\displaystyle{ n\geqslant 7}\)
- lina2002
- Użytkownik
- Posty: 599
- Rejestracja: 27 mar 2008, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 151 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Taki nieistotny szczegół. W końcu skoro \(\displaystyle{ n\ge 5}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ n\ge 7}\)