Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"

[enigm32]

Przecież to wszystko nie jest dane, krótsza podstawa może być dłuższa od ramienia i w ogóle niewiele wiemy o kątach tych powstałych trójkątów... Skąd takie miary...?

[owen1011]

a no w sumie masz racje

[enigm32]

Trapezów o podanych kątach jest nieskończenie wiele... Nic tu nie możemy powiedzieć w tych kwestiach.

[szymek12]

Mógłby ktoś wrzucić kilka zadań z rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki typu zadania 4. z tamtegorocznego pierwszego etapu, czy zadania 6. z tegorocznego drugiego etapu. Organizatorom bardzo się takie podobają.

[enigm32]

Hmm, na finale, jeśli dadzą, to coś trudniejszego. Mam tu jedno fajne zadanko:
2.
Dany jest zbiór \(\displaystyle{ S=\{1,2,3,...,N\}}\). Ze zbioru wszystkich podzbiorów zbioru S wybieramy losowo ze zwracaniem dwa zbiory \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\).
Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że oba wylosowane zbiory są rozłączne.

Pokmińcie, ja będę popołudniu w domu, to Wam potwierdze rozw., bo mam prawidłowy wynik i sam też zadanie rozwiązałem. Nie jest trudne.

[tomekdd]

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = 2^{2N} = 4^{N}}\)
Do zbioru pustego możemy dobrać \(\displaystyle{ 2^{N}}\) rozlacznych zbiorów.
Do zbioru jednoelementowego możemy dobrać jeden z \(\displaystyle{ 2^{N-1}}\) pozostałych rozłącznych podzbiorów.
Do zbioru dwuelementowego możemy dobrać jeden z \(\displaystyle{ 2^{N-2}}\) pozostałych rozłącznych podzbiorów.
.
.
.
.
Do zbioru n-elementowego możemy dobrać tylko zbiór pusty.

Czyli \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = 2^{N}+ {N \choose 1} 2^{N-1}+ {N \choose 2} 2^{N-2}+ . . . + {N \choose N} 2^{N-N} = (2 + 1)^{N}}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ P(A) = (\frac{3}{4})^{N}}\)

[enigm32]

tomekdd, dobrze;) Mam nadzieje, że nie przepisałeś z rozw. , bo wiem, że książeczkę tę masz. Pzdr.

[kolanko]

a co to za książka ?

[enigm32]

To zadanie ze starych matur... Już wspominałem...

[kolanko]

myslalem ze tylko z logarytmami bylo z matur sorki.

[tomekdd]

tomekdd, dobrze;) Mam nadzieje, że nie przepisałeś z rozw. , bo wiem, że książeczkę tę masz. Pzdr.

To masz dobra nadzieje . Zresztą, rozwiązanie w tej książce jest trochę "szczątkowe".

[enigm32]

To fakt...

[owen1011]

Kilka przeciekawych zadanek

1. Znajdz objetosc V walca opisanego na czworoscianie foremnym o krawedzi a w ten sposob, ze dwie przeciwlegle krawedzie czworoscianu sa srednicami walca.

2. Wyznacz dlugosci krawedzi prostopadlosciennego pojemnika bez pokrywy o kwadratowym dnie i pojemnosci \(\displaystyle{ 0.5m^{3}}\), aby na jego wykonanie zuzyc jak najmniej materialu. Przedstaw graficznie zaleznosc zuzytego materialu od dlugosci krawedzi dna pojemnika.

3. W ostroslupie prawidlowym czworokatnym odleglosci srodka wysokosci od krawedzi bocznej i sciany bocznej wynosza odpowiednio a i b. Wyznacz objetosc ostroslupa i podaj warunek rozwiazalnosci zadania.

4.Podstawa graniastoslupa prostego jest trapez wpisany w polokrag o promieniu R w ten sposob, ze jego wieksza podstawa pokrywa sie ze srednica a mniejsza odpowiada katowi srodkowemu rownemu \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Znajdz objetosc graniastoslupa, jezeli przekatna sciany przechodzacej przez krawedz podstawy nachylona jest do podstawy pod katem \(\displaystyle{ \alpha}\).

5. Udowodnij ze w czworoscianie foremnym wysokosci przecinaja sie w stosunku 1:3

6. Szescian o krawedzi a przecieto plaszczyzna zawierajaca przekatna jedna ze scian szescianu i nachylona do tej sciany pod katem \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyraz pole otrzymanego przekroju jako funkcje kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)

[pawelsuz]

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = 2^{2N} = 4^{N}}\)
Do zbioru pustego możemy dobrać \(\displaystyle{ 2^{N}}\) rozlacznych zbiorów.
Do zbioru jednoelementowego możemy dobrać jeden z \(\displaystyle{ 2^{N-1}}\) pozostałych rozłącznych podzbiorów.
Do zbioru dwuelementowego możemy dobrać jeden z \(\displaystyle{ 2^{N-2}}\) pozostałych rozłącznych podzbiorów.
.
.
.
.
Do zbioru n-elementowego możemy dobrać tylko zbiór pusty.

Czyli \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = 2^{N}+ {N \choose 1} 2^{N-1}+ {N \choose 2} 2^{N-2}+ . . . + {N \choose N} 2^{N-N} = (2 + 1)^{N}}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ P(A) = (\frac{3}{4})^{N}}\)

Może mi ktoś wyjaśnić, czemu
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = 2^{2N} = 4^{N}}\)
?

[tomekdd]

Pierwsze ciekawe zadanko :
\(\displaystyle{ V = \pi R^2H}\), R - promień podstawy walca, H - jego wysokość, czyli odległości między tymi przeciwległymi krawędziami.

\(\displaystyle{ R = \frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ H^2 = (\frac{a \sqrt{3}}{2})^2-(\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{\pi a^3 \sqrt{2}}{8}}\)

- - - - - -
Ja tez ciekawe zadanko wyszperałem.

Dwie płaszczyzny tworzą kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Między te płaszczyzny wlatuje mała kulka i po wielu odbiciach wydostaje się na zewnątrz. Pierwsze zderzenie miało miejsce w odległości a od wierzchołka kąta, przy czym kąt padania był równy \(\displaystyle{ \beta}\). Kulka porusza się w płaszczyźnie prostopadłej do obu ścianek. Znaleźć minimalna odległość na jaka kulka zbliży się do wierzchołka kąta. Przyjąć ze kąt \(\displaystyle{ \beta}\) jest mały.