Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
- kolanko
- Użytkownik
- Posty: 1905
- Rejestracja: 9 gru 2006, o 14:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łańcut
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 172 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Mamy punkt A. punkt A ma taka sama odległość to dwusiecznej y=x-1 jak punkt A' . teraz punkt A' jest tak samo oddalony od dwusiecznej x=1 jak punkt A'' . i teraz juz prosto.
\(\displaystyle{ B=(1,5)}\)
\(\displaystyle{ C=(-4,-5)}\)
o ile sie gdzies nie machnąłem
\(\displaystyle{ B=(1,5)}\)
\(\displaystyle{ C=(-4,-5)}\)
o ile sie gdzies nie machnąłem
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 3 sie 2007, o 12:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Połaniec/Sandomierz
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 1 raz
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Macie parę zadań do rozkminy
1. Na walcu obrotowym o promieniu podstawy r i wysokości h opisano stożek obrotowy tak, że powierzchnia boczna stożka do górnej podstawy walca, a dolna podstawa walca i podstawa stożka są kołami współśrodkowymi. Znaleźć promień podstawy i wysokość stożka, dla których objętość stożka będzie najmniejsza
2. Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozwinięciu na płaszczyźnie tworzy półkole o promieniu 1. Podstawę stożka dorysowano stycznie do tego półkola tak, by powstała figura (siatka stożka) była symetryczna.
a) wyznaczyć promień podstawy stożka, jego wysokość i kąt rozwarcia
b) obliczyć promień okręgu opisanego na siatce stożka
3.Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ k}\) , przy czym \(\displaystyle{ k<n}\). Powarzamy \(\displaystyle{ n}\) razy doświadczenie, które za każdym razem z p-wem \(\displaystyle{ p}\) kończy się sukcesem i z p-wem \(\displaystyle{ 1-p}\) porażką. Znaleźć \(\displaystyle{ p}\) , dla którego prawdopodobieństwo tego, że dokładnie \(\displaystyle{ k}\) prób skończy się sukcesem, jest możliwie największe.
1. Na walcu obrotowym o promieniu podstawy r i wysokości h opisano stożek obrotowy tak, że powierzchnia boczna stożka do górnej podstawy walca, a dolna podstawa walca i podstawa stożka są kołami współśrodkowymi. Znaleźć promień podstawy i wysokość stożka, dla których objętość stożka będzie najmniejsza
2. Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozwinięciu na płaszczyźnie tworzy półkole o promieniu 1. Podstawę stożka dorysowano stycznie do tego półkola tak, by powstała figura (siatka stożka) była symetryczna.
a) wyznaczyć promień podstawy stożka, jego wysokość i kąt rozwarcia
b) obliczyć promień okręgu opisanego na siatce stożka
3.Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ k}\) , przy czym \(\displaystyle{ k<n}\). Powarzamy \(\displaystyle{ n}\) razy doświadczenie, które za każdym razem z p-wem \(\displaystyle{ p}\) kończy się sukcesem i z p-wem \(\displaystyle{ 1-p}\) porażką. Znaleźć \(\displaystyle{ p}\) , dla którego prawdopodobieństwo tego, że dokładnie \(\displaystyle{ k}\) prób skończy się sukcesem, jest możliwie największe.
- enigm32
- Użytkownik
- Posty: 596
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 99 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Niech \(\displaystyle{ R=r+x}\) - promień podstawy stożka,czachur pisze:1. Na walcu obrotowym o promieniu podstawy r i wysokości h opisano stożek obrotowy tak, że powierzchnia boczna stożka do górnej podstawy walca, a dolna podstawa walca i podstawa stożka są kołami współśrodkowymi. Znaleźć promień podstawy i wysokość stożka, dla których objętość stożka będzie najmniejsza
wtedy z podobieństwa trójkątów, mamy, że \(\displaystyle{ H=\frac{hr}{x}+h}\) - wysokość stożka.
Zatem \(\displaystyle{ V(x)=\frac{1}{3}\pi h \frac{(r+x)^3}{x}}\).
Szukamy x, dla którego wyrażenie \(\displaystyle{ W(x)=\frac{(r+x)^3}{x}}\) osiąga najmneijszą wartość.
\(\displaystyle{ W'(x)=\frac{2 \cdot (x+r)^2 \cdot (x-\frac{1}{2}r)}{x^2}\\
W_{min}(x)=W(\frac{1}{2}r)}\)
Odp.: \(\displaystyle{ \begin{cases} R=\frac{3}{2}r\\ H=3h \end{cases}}\).
-- 26 marca 2009, 19:03 --
a)czachur pisze:2. Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozwinięciu na płaszczyźnie tworzy półkole o promieniu 1. Podstawę stożka dorysowano stycznie do tego półkola tak, by powstała figura (siatka stożka) była symetryczna.a) wyznaczyć promień podstawy stożka, jego wysokość i kąt rozwarciab) obliczyć promień okręgu opisanego na siatce stożka
\(\displaystyle{ 2\pi r=\pi \Rightarrow r=\frac{1}{2}}\) - promień podstawy
\(\displaystyle{ H^2=1-\frac{1}{4} \Rightarrow H=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) - wysokość stożka
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{1}{2} \Rightarrow 2\alpha=60^0}\) - kąt rozwarcia
b)
Odpowiedni rysunek i
\(\displaystyle{ 1+(2-R)^2=R^2 \Rightarrow R=\frac{5}{4}}\) - promień okręgu opisanego na siatce
-- 26 marca 2009, 19:26 --
\(\displaystyle{ P_n(k)= {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}}\)czachur pisze:3.Dane są liczby naturalne oraz , przy czym . Powarzamy razy doświadczenie, które za każdym razem z p-wem kończy się sukcesem i z p-wem porażką. Znaleźć , dla którego prawdopodobieństwo tego, że dokładnie prób skończy się sukcesem, jest możliwie największe.
Z nier. pomiędzy śr. geometryczną i śr. arytmetyczną mamy, że
\(\displaystyle{ P_n(k)= {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \le {n \choose k} \cdot (\frac{kp+(n-k)(1-p)}{n})^n}\)
No a równość zajdzie, gdy \(\displaystyle{ p=1-p \Rightarrow p=\frac{1}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 568
- Rejestracja: 29 sty 2009, o 13:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 230 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
enigm32 dam sobie reke odciac że bedziesz laureatem pierwszego stopnia w finale
- kolanko
- Użytkownik
- Posty: 1905
- Rejestracja: 9 gru 2006, o 14:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łańcut
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 172 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
a ja obie ;p kurde prawdopodobienstwo lezy u mnie niech to fiks :/ nie ogarniam tego. reszta jakos leci ... ale prawdopodobienstwo mnie niszczy.
- enigm32
- Użytkownik
- Posty: 596
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 99 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Nie no bez przesady... Różnie może być... Wiecie sami jak na takich olimpiadach bywa, zrobisz jakiś głupi błąd i wszystko się sypie, a czasu mało...
Właśnie rozwiązałem sobie fajny układ ze "starej" matury na 6:
1. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{log_yz}+z^{log_yx}=512 \\
y^{log_zx}+x^{log_zy}=8\\
z^{log_xy}+y^{log_xz}=2\sqrt{2} \end{cases}}\).
Właśnie rozwiązałem sobie fajny układ ze "starej" matury na 6:
1. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{log_yz}+z^{log_yx}=512 \\
y^{log_zx}+x^{log_zy}=8\\
z^{log_xy}+y^{log_xz}=2\sqrt{2} \end{cases}}\).
- kolanko
- Użytkownik
- Posty: 1905
- Rejestracja: 9 gru 2006, o 14:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łańcut
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 172 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Jakas podp ? do logarytmów ? :>
-- 27 marca 2009, 11:32 --
Doszedłem do postaci :
\(\displaystyle{ z^{log_yx}=256}\)
\(\displaystyle{ y^{log_zy}=4}\)
\(\displaystyle{ z^{log_xz}=\sqrt{2}}\)
Ale co dalej to ja nie wiem ..-- 27 marca 2009, 12:01 --Doszedłem ... ale masakra była 2h w plecy ;p tyle co trwa całe AGH
odp :
\(\displaystyle{ x=16,y=2,z=4}\)
Podaj ktos swój sposob pewnie jest krótszy od mojego ;p
-- 27 marca 2009, 11:32 --
Doszedłem do postaci :
\(\displaystyle{ z^{log_yx}=256}\)
\(\displaystyle{ y^{log_zy}=4}\)
\(\displaystyle{ z^{log_xz}=\sqrt{2}}\)
Ale co dalej to ja nie wiem ..-- 27 marca 2009, 12:01 --Doszedłem ... ale masakra była 2h w plecy ;p tyle co trwa całe AGH
odp :
\(\displaystyle{ x=16,y=2,z=4}\)
Podaj ktos swój sposob pewnie jest krótszy od mojego ;p
- enigm32
- Użytkownik
- Posty: 596
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 99 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Muszę Cię zasmucić, bo to nie jest pełne rozwiązanie... Albo Twój sposób jest trochę "naciągany", albo gdzieś się pomyliłeś, coś przeoczyłeś. Wrzuć szkic Twojego rozw., to sprawdzimy.
- kolanko
- Użytkownik
- Posty: 1905
- Rejestracja: 9 gru 2006, o 14:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łańcut
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 172 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
pozniej doszedlem do tego ze to musi byc suma potęg 2
no i zapisalem ze
\(\displaystyle{ x=2^a}\)
\(\displaystyle{ y=a^b}\)
\(\displaystyle{ z=a^c}\)
no i pewnie beda jeszcze rozwiązania ujemne co ? :>
bo tam mialem kwadraty . ale powyciągalem tylko dodatnie ..
kobieca intuicja mnie zawiodła ;D
A chlopie jak ja mam CI przepisac to co naskrobalem w 2 h to głowa mała
no i zapisalem ze
\(\displaystyle{ x=2^a}\)
\(\displaystyle{ y=a^b}\)
\(\displaystyle{ z=a^c}\)
no i pewnie beda jeszcze rozwiązania ujemne co ? :>
bo tam mialem kwadraty . ale powyciągalem tylko dodatnie ..
kobieca intuicja mnie zawiodła ;D
A chlopie jak ja mam CI przepisac to co naskrobalem w 2 h to głowa mała
- enigm32
- Użytkownik
- Posty: 596
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 99 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Co to są te liczby a, b, c? Jakieś podstawienie, dowolne?kolanko pisze:pozniej doszedlem do tego ze to musi byc suma potęg 2
no i zapisalem ze
\(\displaystyle{ x=2^a}\)
\(\displaystyle{ y=a^b}\)
\(\displaystyle{ z=a^c}\)
Ujemne nie mogą wyjść..., co wynika z def. logarytmu.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Nie startuję w tym konkursie, ale zadanko zrobię
Najpierw dziedzina, wiadomo, potem z ostatniego:
\(\displaystyle{ z^{log_x y}=z^{\frac{log_z y}{log_z x}} = \left( z^{log_z y} \right)^{log_x z} = y^{log_x z}}\), czyli ostatnie równanie wygląda nastepująco: \(\displaystyle{ y^{log_x z} = \sqrt{2}}\). Podobnie z drugiego: \(\displaystyle{ y^{log_z x}=4}\), czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases}log_x z = log_y \sqrt{2} \\ log_z x= log_y 4 = 4 \log_y \sqrt{2} \end{cases}}\)
Ale wiemy, że \(\displaystyle{ log_x z \cdot log_z x = 1}\), to przemnażamy powyższy układ stronami i dostajemy:
\(\displaystyle{ 1 = 4 (log_y \sqrt{2})^2 \Rightarrow (y=2 \vee y=\frac{1}{2})}\), itp.
Najpierw dziedzina, wiadomo, potem z ostatniego:
\(\displaystyle{ z^{log_x y}=z^{\frac{log_z y}{log_z x}} = \left( z^{log_z y} \right)^{log_x z} = y^{log_x z}}\), czyli ostatnie równanie wygląda nastepująco: \(\displaystyle{ y^{log_x z} = \sqrt{2}}\). Podobnie z drugiego: \(\displaystyle{ y^{log_z x}=4}\), czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases}log_x z = log_y \sqrt{2} \\ log_z x= log_y 4 = 4 \log_y \sqrt{2} \end{cases}}\)
Ale wiemy, że \(\displaystyle{ log_x z \cdot log_z x = 1}\), to przemnażamy powyższy układ stronami i dostajemy:
\(\displaystyle{ 1 = 4 (log_y \sqrt{2})^2 \Rightarrow (y=2 \vee y=\frac{1}{2})}\), itp.
- enigm32
- Użytkownik
- Posty: 596
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 99 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Hehe, to co Ty, stary, przez 2 h pisałeś całe rozw....? Myślałem, że tyle zajęło Ci poprostu kminienie, a "tekstu" mniej...kolanko pisze: kobieca intuicja mnie zawiodła ;D
A chlopie jak ja mam CI przepisac to co naskrobalem w 2 h to głowa mała
Co do intuicji, to w tym momencie jest ona niepotrzebna, prawidłowe rachunki powinny dać prawidłowy wynik.
- kolanko
- Użytkownik
- Posty: 1905
- Rejestracja: 9 gru 2006, o 14:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łańcut
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 172 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Kurcze zacząlem jak Sylwek skonczylem jak ja nie nadaje sie do tego konkursu ;p nie wiem jakim cudem przeszedlem do finału ... czarna rozpacz.
Mam tu takie proste dla was jakies
Rozwiazac w naturalnych
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 1}\)
Rozwiazac :
\(\displaystyle{ x+y+z+t=x^2+y^2+z^2+t^2=1}\)
no modzilem jak moglem, doszedlem do tego co dalem na forum przedtem. do tego co sylwek na poczatku. a zapomnialem o tym zeby zamienic cale równanie na logarytmy... nie pomyslalem o tym nawet kurde..enigm32 pisze:Hehe, to co Ty, stary, przez 2 h pisałeś całe rozw....? Myślałem, że tyle zajęło Ci poprostu kminienie, a "tekstu" mniej...
Mam tu takie proste dla was jakies
Rozwiazac w naturalnych
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 1}\)
Rozwiazac :
\(\displaystyle{ x+y+z+t=x^2+y^2+z^2+t^2=1}\)
Ostatnio zmieniony 27 mar 2009, o 16:12 przez kolanko, łącznie zmieniany 1 raz.
- enigm32
- Użytkownik
- Posty: 596
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 99 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Do finału nie było trudno przejść. Tyle wiedzy ile trzebabyło mieć, to na pewno posiadasz.kolanko pisze:Kurcze zacząlem jak Sylwek skonczylem jak ja nie nadaje sie do tego konkursu ;p nie wiem jakim cudem przeszedlem do finału ... czarna rozpacz.
Początek rozwiązania jest dosyć oczywisty, ale ja na przykład kończyłem trochę inaczej niż Sylwek.
Ostatnio zmieniony 27 mar 2009, o 16:08 przez enigm32, łącznie zmieniany 1 raz.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Olimpiada o "Diamentowy Indeks AGH 2008/2009"
Ale go pocieszyłeś . Moim zdaniem to zadanie nie pojawiłoby się nawet na finale tego konkursu, więc bez obaw.Do finału nie było trudno przejść. Tyle wiedzy ile trzebabyło mieć, to na pewno posiadasz.