Kangur Junior 2019, odpowiedzi+treści

[robalbrowal]

Przedstawiam odpowiedzi na tyle, na ile wiem że są one poprawne (bez dopisków, że raczej poprawne).
Moje odpowiedzi:

Ukryta treść:    

1. D
2.D
3.B
4.E
5.C
6.B
7.C
8.B
9.A
10.E
11.B
12.C
13.C
14.E
15.B
16.D
17.A
18.C
19.D
20.E (nie mam pewności)
21.A
22.B
23.C (nie mam pewności, może być D lub E, treści->)
24.C (nie mam pewności)
25.E
26.E (nie mam pewności)
27.D
28.C
29.A (nie mam pewności)
30.C (nie mam pewności, może być D lub E)

Wybrane treści:

Ukryta treść:    

26. Ile jest takich liczb trzycyfrowych \(\displaystyle{ a}\), że liczby \(\displaystyle{ b=2a+1}\) i \(\displaystyle{ c=2b+1}\) są również trzycyfrowe oraz w każdej z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) pierwsza i ostatnia cyfra jest taka sama? /A-0, B-1, C-2, D-3, E-więcej niż 3
29. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) o polu \(\displaystyle{ S}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\). Na półprostych \(\displaystyle{ BA, DA, CA}\) wybieramy odpowiednio punktu \(\displaystyle{ P,Q,R}\) takie, że \(\displaystyle{ AP=2AB, AQ=3AD, AR=4AC}\) (był rysunek). Czemu (?) jest równe pole trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\)? /A-S, B-2S,C-3S, D-1/2S, E-0
30. Ile jest liczb czterocyfrowych, takich że po usunięciu dowolnie wybranej cyfry z jej zapisu dziesiętnego otrzymamy dziesiętny zapis liczby trzycyfrowej, która dzieli wyjściową liczbę
czterocyfrową? /A-5, B-9, C-14, D-19, E-23

Moje podejścia do tych zadań:
26:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ c>4a}\), więc \(\displaystyle{ a<250}\). Liczba a musi mieć co najmniej cyfrę \(\displaystyle{ 5}\) na drugim miejscu, bo inaczej cyfra jedności \(\displaystyle{ b}\) będzie nieparzysta, a setek - parzysta. Czyli \(\displaystyle{ 149<a<200}\). Stąd wychodzi, że pierwszą cyfrą \(\displaystyle{ b}\) będzie \(\displaystyle{ 3}\), więc cyfrą jedności \(\displaystyle{ a}\) musi być \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 6}\). Podobnie cyfra dziesiątek \(\displaystyle{ b}\) to co najmniej \(\displaystyle{ 5}\), więc znajdujemy \(\displaystyle{ 176,181,186,191,196}\) (ja znalazłem tylko te zakończone na \(\displaystyle{ 6}\), więc mam źle, a teraz przynajmniej uzyskałem pewność co do E :/)

30:

Ukryta treść:    

Znalazłem po prostu \(\displaystyle{ 1100,2200,...,9900; 1500, 1200,2400,3600,4800}\), czyli \(\displaystyle{ 14}\), więcej nie zdążyłem znaleźć.

Generalnie mam co najmniej 2 źle, 27-strzelane, 26. - teraz zobaczyłem że źle, a 29. i 30. wciąż nie jestem pewien, więc fajnie by było, jakby ktoś rozwiązał (treści wyżej). Moim zdaniem trochę trudniejszy niż w latach poprzednich (zadania typu 27., 30., 26. były mocno nastawione na szukanie, a znajdywanie ładnego rozwiązania zabrałoby za dużo czasu według mnie, podzielcie się swoimi opiniami

[xifgx]

1D
2D
3B
4E
5C
6B
7C
8B
9A
10E
11B
12C
13C
14E
15B
16D
17A
18D
19D
20E
21A
22B
23C
24C
25E
26C
27B
28C
29A
30C

W 18 wychodzi 9 a nie ma takiej odp, 27 strzelane

[PokeKolekcjoner]

1 D
2 D
3 B
4 E
5 C
6 B
7 B
8 B
9 A
10 E
11 B
12 C
13 E (powiedzcie mi czemu tu powinno być C, bo ja chyba jestem ślepy i tego nie widzę...)
14 E
15 B
16 D
17 A
18 C
19 D
20 E
21 A
22 B
23 C
24 B
25 E
26 E
27 D (strzelane)
28 D (strzelane)
29 A (strzelane)
30 C (strzelane
Też uważam, że tegoroczny kangurek zdecydowanie trudniejszy od tych z poprzednich lat. Za rok muszę się wziąć w garść i roztrzaskać zadanka

[Agn3]

A czy możecie powiedzieć jak zrobić zadanie 19 i 27?

[robalbrowal]

W 13 bierzesz \(\displaystyle{ \frac{2}{10}+ \frac{1}{9}}\).
19. 12 i więcej nie może być, bo wtedy potrzeba by było co najmniej \(\displaystyle{ 0+1+...+11=66}\) gruszek a mamy 60, odpowiedź 10 działa, bo można dać do każdej skrzynki po 6 jabłek i po kolei po 1,2,...,8,9,15 gruszek.
27. 35 jest osiągalne przez wpisanie kolejno 2,12,3,18 i zdaje się, że jest to najmniej, gdyż oczywiście najpożyteczniejsze jest wpisanie w dwa pola po przekątnej pary najmniejszych liczb względnie pierwszych (większych niż 1 oczywiście), czyli 2 i 3. Teraz oczywiście po drugiej przekątnej muszą być liczby podzielne przez 6, a przy okazji nie mogą być takie, że jedna dzieli drugą, więc domnażamy je przez (ponownie) parę najmniejszych liczb względnie pierwszych, czyli uzyskujemy 12 i 18..
30. O ile mój program nie jest wadliwy, to prawidłowa odpowiedź to 14.

[PokeKolekcjoner]

A ja czytałem to 13 zadanie kilka razy i za kazdym czytalem przedzial od 1 do 9...

[Voyteck_]

1 D
2 D
3 B
4 E
5 C
6 B
7 C
8 B
9 A
10 E
11 B
12 C
13 C
14 E
15 B
16 D
17 A
18 C
19 D
20 E
21 A
22 B
23 C
24 C
25 E
26 C
27 D
28 D
29 A
30 C

W zad. 26 liczby \(\displaystyle{ 176, 186, 196}\) nie spełniają warunków zadania, bo pierwsza i ostatnia cyfra liczby \(\displaystyle{ a}\) też muszą być takie same, a \(\displaystyle{ 1\neq 6}\). Zostają więc 2 liczby: \(\displaystyle{ 181, 191}\).

W zad. 28
\(\displaystyle{ 20 \cdot 30 \cdot 40 \cdot 50 \cdot 60 \cdot 80 \cdot 90 = 720000 ^{2}}\)
Wystarczy więc usunąć liczby \(\displaystyle{ 10}\) i \(\displaystyle{ 70}\).