Matematyka.pl

W tym roku widzę temat jeszcze nie powstał - czas to zmienić

Dziś był 2. etap. W ogóle miałem wyjątkowe problemy z wysłaniem odpowiedzi - próbowałem wysłać o 16:56, ale serwery PWr się zawiesiły. Zanim mi "zjadło" formularz, widząc problemy, udało mi się zrobić screeny wszystkich odpowiedzi, i wysłałem je natychmiast mailem. Ok. godzinę później zauważyłem, że formularz już działa, więc wtedy (czyli prawie godzinę po terminie) wysłałem te same odpowiedzi. Ciekawe, jak do tego podejdą...

Tak, czy siak, moje odpowiedzi:
01) 19
02) A-F, B-DE, C-G
03) 28
04) 2,4,7,6,5
05) 7
06) 3
07) 6
08) 5
09) 1 rozw.: 32
10) 2 rozw.: BDFEAC, BDFECA (wypowiedź Aliny była niepotrzebna w treści)
11) 1 rozw.: 18,14,17,16,15,13
12) 1 rozw.: 6,5,13,14,9,7,3,11,10,4,12 (informacja o przekątnej była niepotrzebna w treści)
13) 2 rozw.: 4082, 4087
14) 10 rozw.: 102, 201; 103, 301; 112, 211; 113, 311; 122, 221 (analizowałem pierwszą cyfrę kwadratu i ostatnią cyfrę odwrócenia, a także liczbę cyfr liczby - gdy liczba nie miała 1 na początku ani na końcu, udało się dość sprawnie odrzucić wszystkie przypadki)
15) 5 (czyli \(\displaystyle{ 11/20}\) razy co da nam w mianowniku 4 lub dzielnik 4)
16) 2671 (twierdzenie o dwusiecznej + 2x twierdzenie kosinusów do małych trójkątów)
17) 28,8 (gdy \(\displaystyle{ a}\) to bok trójkąta równobocznego, to \(\displaystyle{ (10-\frac{a}{2})+(2a-20)+\frac{a\sqrt{3}}{2}=20}\) daje \(\displaystyle{ a=30-10\sqrt{3}}\), dalej pole kwadratu o boku \(\displaystyle{ 2a-20}\))
18) 3 rozw.: 13,7,6; 26,14,12; 39,21,18 (o tym napiszę więcej innym razem)

Zadanie 5 było niejednoznaczne (co już napisałem organizatorom). Ja je rozwiązałem tak jak Ty, ale moja córka potraktowała rysunek jako rysunek całego pudełka, a wtedy odpowiedź jest \(\displaystyle{ 5}\), bo pięć klocków w jednym rządku po prostu nie zmieści się.

JK

Ja mam takie odpowiedzi jak Sylwek poza zadaniem 16tym

Mianowicie u mnie wynik to 9211 cm.

Zadanie imo łatwiejsze niż rok temu. Ja skończyłem po około 2h i wysłałem zadania. Przyjęli natychmiastowo z potwierdzeniem mailowym.
W zadaniu 14tym dodatkowo analizowałem ilość cyfr liczby i liczby odwrotnej, oraz sprawdzałem tylko przypadki, że pierwsza cyfra jest mniejsza niż ostatnia (na końcu ilość rozwiązań była x2).
Zadanie 15 - zdecydowanie za łatwe jak na ten poziom
Zadanie 16 - wsadziłem całość w układ współrzędnych, ale obliczenia były na dużych liczbach, liczenie pierwiastków z takich liczb na kartce jest uciążliwe
Zadanie 17 - dość przyjemne, też nietrudne jak na 17 pkt
Zadanie 18 - wyliczyłem reszty z dzielenia sześcianów kolejnych liczb przez 19 i 20 (to było najbardziej czasochłonne), potem szybkie dopasowania przy złożeniu, że b-c jest jak najmniejsze.

[edit]

Zrobiłem zadanie 16 ponownie sposobem Sylwka i wyszło 8196 i myślę że to jest poprawna odpowiedź

Kat. GP
Mam źle co najmniej 6 zadań - wysoce prawdopodobne że podpiszę listę wyników

Ale w tym zad. 16 mam jeszcze inaczej niż wy. Rozwiązywałem tak:
Niech \(\displaystyle{ AB=2x, \ AC=x, \ AM=y}\)

Dla \(\displaystyle{ \Delta ABM, \ \Delta AMC, \ \Delta ABC}\) stosuję wzór na pole z sinusem:
\(\displaystyle{ P_{ABM}=\frac12 \cdot 2x\cdot y\cdot \sin60^o = \frac{\sqrt3}2\cdot xy\\ P_{AMC}=\frac12\cdot x\cdot y\cdot \sin 60^o=\frac{\sqrt3}4\cdot xy\\ P_{ABC}=\frac12\cdot 2x\cdot x\cdot\sin120^0=\frac{\sqrt3}2 x^2}\)

Wstawiając to do \(\displaystyle{ P_{ABM}+P_{AMC}=P_{ABC}}\), otrzymuję że \(\displaystyle{ x=\frac32y}\), co dla \(\displaystyle{ y=2019}\) daje \(\displaystyle{ x=3028.5}\).

Dalej wiadomo tw. cosinusów dla \(\displaystyle{ \Delta ABC}\), z którego \(\displaystyle{ BC=\sqrt7 x\approx 2.646\cdot 3028.5\approx 8013}\).

Pewnie gdzieś mam błąd i nie widzę

***

Będę popierał tego typu konkursy. Świetna popularyzacja matematyki szczególnie wśród młodego pokolenia. Sylwek i Skrzypu, życzę wam powodzenia w finale za 2 miesiące, a ja za rok biorę udział z nadzieją na lepszy wynik

A jednak, miałem błąd w obliczeniach i też mi wyszło 8013

Ajć, policzyłem wg moich oznaczeń \(\displaystyle{ y}\), a \(\displaystyle{ |BC|}\) miał u mnie \(\displaystyle{ 3y}\). To wyjdzie mi tyle, co Wam

W 16 wychodzi 8013. Natomiast zastanawiam się jeszcze nad zadaniem 7, które też jest moim zdaniem niejednoznaczne. Wpisałem 12, bo przecież złożone znaczki mogą być obrócone w dwie strony. Inaczej: możemy je składać, trzymając albo znaczek 1 cały czas skierowany do siebie, albo znaczek 2. Pytanie jest "na ile sposobów mógł wykonać złożenie", a nie "ile jest różnych złożeń z dokładnością do obrotów". Choć idąc tym tropem, to wiele innych odpowiedzi też powinno być akceptowane - w tym 18 czy 36, w zależności jakie kroki złożenia rozróżniamy - więc pewnie nie mam racji Konkurs fajny, szkoda tylko, że autorzy bardziej nie przykładają się do formułowania treści (podobnie w 5).

No rzeczywiście z tym 7. tak średnio to sformułowali
A z balkonami w 8. można było uważać że kolejność malowania ma znaczenie

Adam274, w zad. 7 jednak nie ma niejednoznaczności. Miałbyś 12 możliwości złożenia wtedy, gdyby treść zadania rozróżniała "początek" i "i koniec" tej złożonej paczuszki znaczków. A tak kolejność np. 1,2,3 możesz uzyskać na dwa rozróżnialne sposoby, ale są one równocześnie sposobami uzyskania kolejności 3,2,1. Wynik zatem to \(\displaystyle{ \frac{12}{2}=6.}\)

loitzl9006 pisze:A z balkonami w 8. można było uważać że kolejność malowania ma znaczenie

Bez przesady, w piątej klasie...?

JK

Witam,

Udało mi się zrobić 14 zadań dobrze (chyba) z grupy GP, ale zadania nr 15 nie potrafię nadal rozwiązać.
W zadaniu 14 napisałem 5 rozwiązań - zapomniałem o ich odwrotnościach
Mógłby ktoś wrzucić bardziej szczegółowe rozwiązanie zadania 15?

Z góry dzięki.

@Jan Kraszewski: Chodzi o to, że w treści nie ma słowa o tym, co jest rozróżnialne, a co nie. Ja policzyłem \(\displaystyle{ 3! \cdot 2}\), bo tak w pierwszym momencie wydawało mi się najlogiczniejsze (permutacje + w którą stronę będą skierowane znaczki). Ale byłbym w stanie nawet argumentować, że odpowiedź 1 jest poprawna - bo przy każdym złożeniu na troje otrzymujemy w rezultacie kwadrat wielkości jednego znaczka, więc dlaczego nie uznać ich za równoważne. A z kolei z punktu widzenia origami - sensowna odpowiedź to 2, bo mamy tylko taki wybór, czy trzeci (którykolwiek) znaczek zagniemy na zewnątrz, czy do środka. Niemniej zgadzam się, że odpowiedź 6 jest najbardziej logiczna, i nie obrażę się na stratę tego punktu. Bardziej żałuję napisania głupot w dwóch kolejnych zadaniach, ale tu już mogę winić tylko swoją nieumiejętność czytania

@Jadowity:

W 15 wystarczy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ n \cdot \frac{33}{60} = \frac{k}{4}}\) dla \(\displaystyle{ k \in Z}\).

Dzięki Adam274,

Faktycznie było to łatwe zadanie.

Jan Kraszewski, filozof mi się włączył
W ogóle źle zrozumiałem treść tego 8. - zrozumiałem tak, jakby nie było w treści słowa "sąsiadujące" czyli myślałem że w jednej linii muszę mieć różne kolory i napisałem że jest tylko jeden sposób.

Na początku myślałem że zadanie 8 składa się z dwóch podpunktów... za dużo patrzenia w podręczniki szkolne...

Moja propozycja na zad. 15 jest skomplikowana w porównaniu do Waszych, ale dała mi dobry wynik:

Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie środkiem tarczy, zaś \(\displaystyle{ N}\) numerem zdjęcia spełniającym warunki zadania. Warunek zadania będzie spełniony, gdy kąt środkowy \(\displaystyle{ \angle 0SN}\) będzie wielokrotnością \(\displaystyle{ 90^\circ}\), bo jeśli kwadrat obraca się wokół swego środka symetrii o \(\displaystyle{ 90^\circ}\) lub wielokrotność tego kąta, to nie zmienia swego położenia.
Prędkość obrotowa tarczy \(\displaystyle{ 33\frac{obr}{min}}\), jest to inaczej \(\displaystyle{ 33\frac{obr}{60s}=\frac{33}{60}\frac{obr}s=0.55\frac{obr}s}\). Oznacza to, że tarcza w ciągu jednej sekundy wykona \(\displaystyle{ 0.55}\) obrotu, a ponieważ \(\displaystyle{ 1}\) obrót to \(\displaystyle{ 360^\circ}\), to z zasady proporcji wynika, że \(\displaystyle{ 0.55}\) obrotu to \(\displaystyle{ 198^\circ}\).
Rozważam ciąg \(\displaystyle{ a_N}\) kolejnych wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 198}\), szukając najmniejszego wyrazu który jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 90}\)-tki:
\(\displaystyle{ a_1=198, \ a_2=396, \ a_3=594, \ a_4=792, \ a_5=990}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 990}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 90}\), to szukane \(\displaystyle{ N=5}\).

Moim zdaniem zadaniu 5 nie jest niejednoznaczne, gdyż wyraźnie jest powiedziane, że rysunek do zadania odnosi się dc czterech klocków.
Zadania takiego typu jak 18 nie powinno być w etapie internetowym.

PS
Akurat ten konkurs nie przypadł mi do gustu.

Elayne pisze:Moim zdaniem zadaniu 5 nie jest niejednoznaczne, gdyż wyraźnie jest powiedziane, że rysunek do zadania odnosi się dc czterech klocków.

Dla Ciebie nie jest, ale dla jedenastolatka może być. Poza tym nie jest wyraźnie napisane, że rysunek odnosi się tylko do czterech klocków. Najpierw jest napisane, że "umieszcza klocki w pudełku, którego dno ma kształt litery V, jak na rysunku" i to pozwala na interpretację, że pudełko jest "jak na rysunku", a nie tylko jego dno. Reszta jest konsekwencją tej interpretacji - dalej jest napisane, że "jak widać na rysunku, jest pięć sposobów umieszczenia czterech klocków", ale to nie rozstrzyga tego problemu, bo to, że jest ich pięć, jest niezależne od tego, czy na rysunku jest całe pudełko, czy tylko jego dno (ta informacja wyjaśnia, że klocki nie mogą "wisieć w powietrzu").

JK