Jak wam poszło? Mi myślę, że całkiem dobrze
Moje odpowiedzi:
1 - D
2 - C
3 - C
4 - C
5 - E
6 - E
7 - A
8 - B
9 - B
10 - C
11 - A
12 - B
13 - D
14 - D
15 - B
16 - D
17 - B
18 - A
19 - D
20 - E
21 - nie zrobiłem
22 - B
23 - B
24 - C
25 - E
26 - C (strzelałem)
27 - nie zrobiłem
28 - D
29 - nie zrobiłem
30 - nie zrobiłem
Podzielcie się waszymi odpowiedziami
-- 15 mar 2018, o 17:19 --
Dobrze strzeliłem w 26. Treść zadania: "W pierścieniu wyznaczonym przez dwa okręgi współśrodkowe o promieniach długości \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 9}\) umieszczamy koła styczne do obu okręgów i niezachodzące na siebie. Ile co najwyżej takich kół można w ten sposób umieścić?
A) \(\displaystyle{ 1}\), B) \(\displaystyle{ 2}\), C) \(\displaystyle{ 3}\), D) \(\displaystyle{ 4}\), E) \(\displaystyle{ 5}\)"
no zadania nie powalają na kolana, chyba ze to o łańcuszku xD no w 26 muszą być styczne wiec dostajesz trojkat \(\displaystyle{ 5,5,8}\) (srodek pierscienia i srodki pewnych dwoch styczynych), zatem \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{17}{25}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między ramionami. A ta rownosc oznacza, ze \(\displaystyle{ 120^o>\alpha>90^o}\) czyli mozna co najwyzej \(\displaystyle{ 3}\)
Nie miałem z pięciu po 5 punktów i nie byłem pewien jednego za 4. Trochę siedziałem nad dwudziestym szóstym i chyba w końcu zaznaczyłem 4. Zadania jak zwykle nawet do zrobienia, ale mało czasu. Miałem jakieś zaćmienie umysłu jak robiłem zadanie z tą paczką na półce, ale jakieś 30 sek przed oddawaniem mi wyszło.
Ja miałam takie
1D
2C
3C
4C
5E
6E
7A
8B
9B
10C
11A
12B
13C
14D
15B strzał
16D
17B
18A
19C
20E
21C strzał
22A
23B
24D strzał
25B strzał
26C
27 nie pamiętam
28C strzał
29C
30C
Trudny był w tym roku :/
Zadanie 13.
Po tej samej stronie ulicy zbudowano dwa domy studenckie. Wejścia do nich znajdują się przy ulicy i są odległe od siebie o \(\displaystyle{ 250}\) metrów. Pierwszy z domów zamieszkuje \(\displaystyle{ 100}\) studentów, a drugi \(\displaystyle{ 150}\) studentów. W którym miejscu należy zbudować przystanek autobusowy, aby suma odległości od przystanku do swojego domu, jakie muszą pokonać wszyscy studenci zamieszkujący te domy, była jak najmniejsza?
Przy odpowiedzi C mamy: \(\displaystyle{ S_{C} = 150m \cdot 100 + 100m \cdot 150 = 15000m + 15000m = 30000m}\).
Przy odpowiedzi D mamy: \(\displaystyle{ S_{D} = 250 m \cdot 100 + 0m \cdot 150 = 25000m}\).
Więc \(\displaystyle{ S_{D} < S_{C}}\), więc zapewne jest to odpowiedź D.
Zadanie 19.
Ile jest liczb trzycyfrowych o tej własności, że liczba dwucyfrowa otrzymana z liczby poprzez wykreślenie środkowej cyfry jest równa \(\displaystyle{ \frac {1}{9}}\) tej liczby?
To na pewno odpowiedź D: \(\displaystyle{ 100a + 10b + c = 9 (10a + c) \\ 100a + 10b + c = 90a + 9c \\ 10a + 10b = 8c \ \ \ | :2 \\ 5a + 5b = 4c \\ 5(a+b) = 4c}\)
Mamy, że \(\displaystyle{ 4c}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), a skoro nieprawda że \(\displaystyle{ a=b=c=0}\), to \(\displaystyle{ c=5}\).
Stąd mamy: \(\displaystyle{ 10a + 10b = 8 \cdot 5 = 40 \\ a + b = 4}\)
Stąd: \(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=3 \end{cases} \vee \ \ \ \begin{cases} a=2 \\ b=2 \end{cases} \vee \ \ \ \begin{cases} a=3 \\ b=1 \end{cases} \vee \ \ \ \begin{cases} a=4 \\ b=0 \end{cases}}\)
A stąd mamy cztery liczby: \(\displaystyle{ 135, \ 225, \ 315, \ 405}\).
W zadaniu 28 wydaje mi się że odpowiedzią jest że takie wypełnienie jest niemożliwe, czyli mamy 0 takich wypełnień. Aa wy jak uważacie?
Treść zadania to: ,,Każdą liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5,6\}}\) wpisujemy w dokładnie jedno pole
tablicy \(\displaystyle{ 2\times 3}\). Ile jest takich wypełnień tablicy, że suma liczb w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)?
Ostatnio zmieniony 26 mar 2018, o 20:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Poprawa wiadomości: niemożliwe.
Przypadkiem dorwałem treści i dla treningu sobie zrobiłem te zadania.
Potwierdzam wszystkie podane przez PokEmila, ponadto moje odpowiedzi do 21, 27, 29, 30:
21 E
27 D
29 C
30 C
I uzasadnienia:
21:
Każdy kurs pociągu ma początek i koniec, więc \(\displaystyle{ 10+10+10+10+x=2 \cdot 40}\), stąd \(\displaystyle{ x=40}\). Ciekawi niech poszukają pod hasłem stopień wierzchołka w grafie.
27:
Zauważmy, że jeśli mamy trójkę \(\displaystyle{ (x, x+y, y)}\), to kolejnym elementem będzie \(\displaystyle{ -x}\), a wcześniejszym \(\displaystyle{ -y}\), czyli mamy ciąg \(\displaystyle{ (-y, x, x+y, y, -x)}\). Można dalej to ciągnąć i zauważyć okresowość, ja po prostu wypełniłem resztę na liczbach.
A nawet, jak teraz patrzę, jeśli mamy \(\displaystyle{ (x, x+y, y, -x)}\), to oczywistym jest, że \(\displaystyle{ a_{n+3}=-a_n}\), a wniosek z tego to też \(\displaystyle{ a_{n+6}=a_n}\).
29:
To zrobiłem "po kangurowemu", zrobiłem 2 kolorowania w szachownicę i w obu wyszło \(\displaystyle{ 62}\), więc zaryzykowałem \(\displaystyle{ 62}\). Dowód to nie jest.
30:
Jeśli by pomalowała \(\displaystyle{ 6}\), to liczba pozostałych to \(\displaystyle{ (n-2)^3 \neq 45}\), jeśli \(\displaystyle{ 5}\), to liczba pozostałych to \(\displaystyle{ (n-2)^2(n-1) \neq 45}\), a jeśli \(\displaystyle{ 4}\), to w przypadku, gdy pewne dwie przeciwne zostaną niepomalowane, szukana liczba to \(\displaystyle{ (n-2)^2n}\), co jest równe \(\displaystyle{ 45}\) dla \(\displaystyle{ n=5}\).
Ostatnio zmieniony 27 mar 2018, o 14:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
W tym zadaniu 28 wkradł mi się strasznie duży błąd logiczny. Mógłby ktoś mi wytłumaczyć jak zrobić to zadanie 28?
Odnośnie zadania 30, ,,a następnie pomalowała niektóre jego ściany " chodzi o to, że pomalowała całe ściany czy że tylko jej część. Nie umiem zinterpretować tego zadania przez co kompletnie nie rozumiem tego rozwiązania :
Sylwek pisze:
30:
Jeśli by pomalowała \(\displaystyle{ 6}\), to liczba pozostałych to \(\displaystyle{ (n-2)^3 \neq 45}\), jeśli \(\displaystyle{ 5}\), to liczba pozostałych to \(\displaystyle{ (n-2)^2(n-1) \neq 45}\), a jeśli \(\displaystyle{ 4}\), to w przypadku, gdy pewne dwie przeciwne zostaną niepomalowane, szukana liczba to \(\displaystyle{ (n-2)^2n}\), co jest równe \(\displaystyle{ 45}\) dla \(\displaystyle{ n=5}\).
Zadanie 28. \(\displaystyle{ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ e & f \\ \end{array}}\)
Bez strat ogólności przyjmijmy, że liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest ustawiona w lewym górnym rogu. \(\displaystyle{ \begin{array}{cc} 1 & b \\ c & d \\ e & f \\ \end{array}}\)
Zatem \(\displaystyle{ b=2}\) lub \(\displaystyle{ b=5}\). Rozpatrzmy I przypadek, w którym \(\displaystyle{ b=2}\): \(\displaystyle{ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ c & d \\ e & f \\ \end{array}}\)
Więc albo \(\displaystyle{ c=3, d=6, e=4, f=5}\), albo \(\displaystyle{ c=6, d=3, e=4, f=5}\), albo \(\displaystyle{ c=3, d=6, e=5, f=4}\), albo \(\displaystyle{ c=6, d=3, e=5, f=4}\), jednakże dwa pierwsze możemy odrzucić, gdyż \(\displaystyle{ 1+c+e=1+3+4=8}\) lub \(\displaystyle{ 1+c+e=1+6+4=11}\).
Zatem z przypadku I otrzymujemy dwa "rozwiązania".
Teraz rozpatrzmy II przypadek, w którym \(\displaystyle{ b=5}\). \(\displaystyle{ \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ c & d \\ e & f \\ \end{array}}\)
Tu jest nieco więcej roboty, dlatego podzielimy przypadek II na przypadki IIa, IIb, IIc i IId.
Przypadek IIa: \(\displaystyle{ c=2}\). \(\displaystyle{ \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 2 & d \\ e & f \\ \end{array}}\)
Mamy więc, że albo \(\displaystyle{ d=3, e=6, f=4}\), albo \(\displaystyle{ d=4, e=6, f=3}\), jednak pierwszy możemy odrzucić, gdyż \(\displaystyle{ 2+d=2+3=5}\). Zatem z przypadku IIa mamy jedno "rozwiązanie".
Z przypadków IIb, IIc i IId (w których odpowiednio \(\displaystyle{ c=3, 4, 6}\)) również otrzymujemy po jednym rozwiązaniu.
Łączna liczba "rozwiązań" z wszystkich przypadków wynosi \(\displaystyle{ 2+1+1+1+1=6}\). Jedynkę jednak możemy ustawić w sześciu różnych miejscach, dlatego liczba wszystkich "rozwiązań" wynosi \(\displaystyle{ 6 \cdot 6 = 36}\)...
...tutaj coś pomyliłem, czy jak, bo zdawało mi się że odpowiedzią było \(\displaystyle{ 48}\)...?
Liczby: \(\displaystyle{ 1, \ 2, \ 4, \ 5}\), na czterech polach można rozmieścić na 8 różnych sposobów - zgodnie z wymogami zadania. Pozostałe dwie liczby t.j. \(\displaystyle{ 3, \ 6,}\) na dwóch polach można rozmieścić na dwa sposoby przy trzech pozycjach w pionie. To daje razem: \(\displaystyle{ 8 \cdot 2 \cdot 3 = 48}\).
koniak20 pisze:W tym zadaniu 28 wkradł mi się strasznie duży błąd logiczny. Mógłby ktoś mi wytłumaczyć jak zrobić to zadanie 28?
Odnośnie zadania 30, ,,a następnie pomalowała niektóre jego ściany " chodzi o to, że pomalowała całe ściany czy że tylko jej część. Nie umiem zinterpretować tego zadania przez co kompletnie nie rozumiem tego rozwiązania :
Sylwek pisze:
30:
Jeśli by pomalowała \(\displaystyle{ 6}\), to liczba pozostałych to \(\displaystyle{ (n-2)^3 \neq 45}\), jeśli \(\displaystyle{ 5}\), to liczba pozostałych to \(\displaystyle{ (n-2)^2(n-1) \neq 45}\), a jeśli \(\displaystyle{ 4}\), to w przypadku, gdy pewne dwie przeciwne zostaną niepomalowane, szukana liczba to \(\displaystyle{ (n-2)^2n}\), co jest równe \(\displaystyle{ 45}\) dla \(\displaystyle{ n=5}\).
Pomalowała niektóre spośród 6 ścian. Malując "duże" ściany, maluje wiele "małych" ścian "małych" sześcianów. Potem gdyby to rozłożyć na te "małe" sześciany liczyła, ile z tych "małych" sześcianów nie ma pomalowanej żadnej ściany.
