GMiL - 2017/2018

[loskamilos007]

To bardzo ciekawe spostrzeżenia. Ale nie wiem czy w pośpiechu i stresiku tak szybko bym na nie wpadł, szczególnie, że nie zacząłbym od sprawdzania po kolei przypadków.
Lubię czytać tok myślenia innych, inspiruje mnie to ile głów, tyle dróg do rozwiązania!
A to, że po przykładzie 1012 nasuwało się 2101 to inna kwestia

[Skrzypu]

I jak wrażenia po finale?

Pogoda dopisała, więc było całkiem przyjemnie, ale do rzeczy...
Jeżeli chodzi o zadania to wydaje mi się, że w tym roku trzeba było sprawdzać więcej przypadków ręcznie, co wydłużało czas spędzony na niektórych zadaniach. Osobiście nie mogłem się wyrobić w 3h ze wszystkimi zadaniami. Dwa lata temu (drugiego dnia) miałem jeszcze czas pod koniec na sprawdzenie wyników i oddanie kartki sporo przed czasem. Tutaj było to niemożliwe. Z pośpiechu popełniłem kilka banalnych błędów... niestety.
Co do trudności zadań to chyba była trochę wyższa niż ostatnio.

Tradycyjnie chętnie posłucham pomysłów na rozwiązanie niektórych zadań
Z pierwszego dnia 14, 18
Z dnia drugiego 16, 18

No i gratulacje dla Sylwka za zajęcie 2 miejsca, niewiele zabrakło do zwycięstwa!

[Sylwek]

A dziękuję bardzo! Ja tym bardziej gratuluję zwycięstwa w HC Marcin88, który już raczej dawno tu nie zagląda

Pochwalę się przy okazji, że moja uczennica wygrała w tym roku jedną z kategorii robiąc wszystkie swoje zadania bez błędu. W sumie moja informacja i tak jest jednoznaczna, bo tylko w jednej z kategorii wygrała w tym roku płeć piękna - chodzi o kategorię gimnazjalistów (C2) . To było dość ciekawe - w TOP 10 było tam 9 chłopaków i 1 dziewczyna

W tym roku miałem poczucie konieczności mocniejszego "pałowania" niż zwykle. Brakowało mi więcej zadań na wymyślenie czegoś niestandardowego. Za dużo było zadań na bycie człowiekiem-kalkulatorem. W oba dni kończyłem ostatnie swoje zadanie w ostatniej minucie, więc z czasem też było na styk.

Skrzypu, bardzo szkicowo:

1) Zadanie 14 z 1. dnia - najpierw skracamy licznik i mianownik ułamka jak tylko się da, następnie dowodzimy, że \(\displaystyle{ (10^9-1)}\) musi być dzielnikiem mianownika oraz że mianownik nie ma żadnej wcześniejszej wielokrotności typu \(\displaystyle{ 10^k-1}\). To po to, aby okres był dokładnie 9-cyfrowy.

2) Zadanie 18 z 1. dnia - trzeba było szukać i zgadywać pośród małych trójek pitagorejskich

3) Zadanie 16 z 2. dnia - zrobiłem trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ 6}\) (punkty \(\displaystyle{ (0,0), (6,0)}\)) oraz wysokości \(\displaystyle{ 6}\) (3-ci wierzchołek \(\displaystyle{ (3,6)}\)).

I spałowałem analitycznie ten szczególny przypadek. Wynik to różnica \(\displaystyle{ frac{3}{14}}\) i \(\displaystyle{ frac{3}{35}}\), czyli różnica pola trójkąta zawierającego nasz obszar i mały górny trójkącik oraz pola małego górnego trójkącika. Że to dla dowolnego innego trójkąta wyjdzie tyle samo - to można zrobić korzystając z przekształceń afinicznych, więc wystarczy tylko spałować 1 przykład. Chętnie poznam inne, znacznie ładniejsze rozwiązanie.

4) Zadanie 18 z 2. dnia - już kilka lat temu było coś podobnego na GMIL-u, nawet opisywałem rozwiązanie. W skrócie - wzór Herona i żeby nie pałować, to sprowadzić wszystko do równania Pella dla \(\displaystyle{ D=3}\). Odsyłam: 228161.htm#p847205

Co ciekawe, to zadanie z GMIL-a sprzed 7 lat przypomniałem sobie jakieś 10-20 dni przed zawodami, robiąc zupełnie inne zadanie. W ramach nauki do olimpiady zadałem ten problem do rozwiązania jednej osobie (co jeszcze bardziej ciekawe, zadałem to właśnie tej osobie, o której już pisałem w tym poście), a następnie dokładnie pogadaliśmy o tym na zajęciach. Gdy w tym roku zobaczyłem treść mówiącą o trójkącie mającym boki będącymi trzema kolejnymi liczbami naturalnymi, wręcz pamiętałem konkretne nawiasy w tym wzorze Herona

[Elayne]

Zadanie 18 z 1-go dnia - rozwiązanie z twierdzenia Kartezjusza.

[Skrzypu]

Sylwek

Co to 18ego z dnia pierwszego..
Gdzie tam są trójkąty prostokątne o bokach całkowitoliczbowych? Jakoś nie mogę rozkręcić tego po Twoim wprowadzeniu.

W zadaniu z tortem, po ustaleniu że dla każdego trójkąta wynik będzie ten sam wsadziłem to w układ współrzędnych. Trójkąt prostokątny o wierzchołkach \(\displaystyle{ (-b,0), (b,0), (0,b)}\). Wtedy wydaje mi się że szybciej dojdziesz do wyniku (cięcia wychodzą z wierzchołków przeciwprostokątnej).

Co do 18ego z dnia drugiego. Niestety nie znałem wzoru Herona. Próbowałem ograniczać przypadki na podstawie trójek pitagorejskich. Ale dla boku długości >50 robiło się już ciężko...

[PawLew]

Jeśli chodzi o 16 zadanie z 2. dnia, to można je rozwiązać w ten sposób.

... sp=sharing

Zgadnie z oznaczeniami na rysunku, gdzie
\(\displaystyle{ KN||OG||FP \wedge AG||GP
\\ \\
P_{\Delta ABC} = 1
\\ \\
\Delta DGN \sim \Delta ANC
\\
\frac{|DG|}{|AC|} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{|AN|}{|NG|} = \frac{3}{2} \Rightarrow P_{\Delta ANC} = P_{\Delta AGC} \cdot \frac{3}{3+2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}
\\ \\
\Delta FPG \sim \Delta NGC
\\
|CG| = |GF| \Rightarrow |NG| = |GP|
\\
P_{\Delta AFP} = P_{\Delta AFG} \cdot \frac{3+2+2}{3+2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{7}{15}
\\ \\
\Delta AKN \sim \Delta AFP
\\
P_{\Delta AKN} = P_{\Delta AFP} \cdot (\frac{|AN|}{|AP|})^2 = \frac{7}{15} \cdot (\frac{3}{3+2+2})^2 = \frac{7}{15} \cdot \frac{3^2}{7^2} = \frac{3}{35}}\)

Analogicznie możemy udowodnić, że \(\displaystyle{ P_{\Delta NMC} = \frac{3}{35}
\\ \\
\Delta EFL \sim \Delta ALC
\\
\frac{|EF|}{|AC|} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{|EL|}{|LC|} = \frac{1}{3} \Rightarrow P_{\Delta ALC} = P_{\Delta AEC} \cdot \frac{3}{1+3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}
\\ \\
P_{KLMN} = P_{\Delta ALC} - ( P_{\Delta ANC} + P_{\Delta AKN} + P_{\Delta NMC} ) = \frac{1}{2} - (\frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{3}{35}) = \frac{1}{2} - \frac{13}{35} = \frac{9}{70}}\)

[Sylwek]

Dzięki za to rozwiązanie

Skrzypu, poprowadź wysokość trójkąta równoramiennego. Kąt prosty, który powstanie będzie kątem prostym w dwóch trójkątach prostokątnych, jeden jest połówką wielkiego trójkąta równoramiennego, drugi zawiera się wewnątrz niego i ma ten sam kąt prosty.

Ja tego nie zrobiłem i jeszcze nie siadłem nad nim, ale najpierw szukaj wśród trójkątów o całkowitej długości poprowadzonej wysokości.

[Sylwek]

W końcu znalazłem chwilę, żeby przysiąść.

Zadanie nr 18 z 1. dnia - chodzi o to, że...

Ukryta treść:    

...niektóre liczby są w kilku trójkach pitagorejskich. Na przykład gdyby ten większy promień byłby \(\displaystyle{ 24}\), to mniejszy promień równy \(\displaystyle{ 2}\), a środkowy promień równy \(\displaystyle{ 1}\) spełniają warunki zadania. Skąd pomysł? \(\displaystyle{ 24^2+7^2=25^2}\), ale też \(\displaystyle{ 24^2+10^2=26^2}\), tak się składa, że liczby się "dopasują" do treści zadania. Ale \(\displaystyle{ 24}\) to był tylko przykład - ta liczba nie jest tu odpowiedzią, jest też mniejsze rozwiązanie.

Zadanie nr 16 z 2. dnia - weźmy rysunek z zadania, oznaczmy lewy dolny wierzchołek przez \(\displaystyle{ A}\), itp., czyli skorzystam z powyższych oznaczeń zaproponowanych przez PawLew ale nie będę tworzył czerwonych lini. Dalej...

Ukryta treść:    

Poprowadźmy równoległą do \(\displaystyle{ AB}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ C}\), nazwijmy ją prostą \(\displaystyle{ k}\). Przedłużmy odcinek \(\displaystyle{ AG}\) do przecięcia z prostą \(\displaystyle{ k}\). Otrzymaliśmy tam odcinek o długości \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ |AB|=a}\) (Tales), ponadto ten mały trójkącik u góry ma wysokość równą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości oryginału. Zatem jego pole wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) tortu. Podobnie można otrzymać dużo innych proporcji boków i wysokości. Dalej, analogicznie przedłużając \(\displaystyle{ AF}\) dostaniemy jeszcze masę innych stosunków. Wartości pól odpowiednich figur, które mnie prowadziły do rozwiązania to: \(\displaystyle{ \frac{1}{6}, \frac{3}{14}, \frac{1}{21}, \frac{3}{10}, \frac{3}{35}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{42}, \frac{12}{7}, \frac{9}{70}}\), gdzie \(\displaystyle{ \frac{1}{21}, \frac{3}{35}, \frac{5}{42}, \frac{9}{70}}\) to powierzchnie tych \(\displaystyle{ 4}\) części tortu z znajdujących się w "prawym górnym rogu" rysunku.

[loskamilos007]

Hej macie może zadania z finału paryskiego?