[Matematyka bez granic] Zadanie Dolina śmierci

Zonkers · Post autor: **Zonkers** » 22 lut 2005, o 15:41

eloo wszyscy mózgowce.
Umie ktoś to rozwiazać, bo ja za cholerę nie umiem :p, a wiem, że takie mózgi jak wy, dacie sobie radę bez problemu mile widziane rozwiązanie (pytanie wzięte z konkursu)

W kwiecistej dolinie żyją wilki, barany i węże. Każdego ranka o 8 godzinie każdy wilk zjada dokładnie dwa barany.
W każde południe każdy baran rozgniata dwa węże, które wylegują się na słońcu.
Każdego wieczora jeden wąż żądli śmiertelnie dokładnie dwa wilki.
O brzasku szóstego dnia o godzinie 6 rano, w tym zakątku raju przetrwał tylko jeden wilk.

Jaka była populacja wilków na początku pierwszego dnia rano? Uzasadnij odpowiedz!

Edit by Rogal: jest to zadanie z wcześniejszej edycji konkursu "Matematyka bez granic"

Arbooz · Post autor: **Arbooz** » 22 lut 2005, o 22:12

No to tak:
Załóżmy, że na początku danego dnia jest k wilków, l baranów i m węży.
Najpierw wilki zjadają barany: zostaje k wilków, l-2k barzanów i m węży.
Następnie barany rozdeptują węże: zostaje k wilków, l-2k baranów i m-2l+4k węży.
W końcu węże kąsają wilki: nastepnego dnia o brzasku mamy wiec 4l-2m-7k wilków.

No ok, zatem \(\displaystyle{ k_6 = 4l_5 - 2m_5 - 7k_5}\), a mamy obliczyć \(\displaystyle{ k_1}\)
hmmm.... to może wyjść trochę skomplikowane...
No nic, jeszcze nad tym pomyślę

[ Dodano: Wto Lut 22, 2005 10:30 pm ]
\(\displaystyle{ k_2 = 4l_1 - 2m_1 - 7k_1}\)
\(\displaystyle{ l_2 = l_1 - 2k_1}\)
\(\displaystyle{ m_2 = m_1 - 2l_1 + 4k_1}\)

Ok. Zatem

\(\displaystyle{ k_3 = 4l_2 - 2m_2 - 7k_2 = 4(l_1 - 2k_1) - 2(m_1 + 2l_1) - 4k_1 - 7(4l_1 - 2m_1 - 7k_1) = 37k_1 - 28l_1 + 12m_1}\)
\(\displaystyle{ l_3 = l_2 - 2k_2 = l_1 - 2k_1 - 2(4l_1 - 2m_1 - 7k_1) = 12k_1 - 7l_1 + 4m_1}\)
\(\displaystyle{ m_3 = m_2 - 2l_2 + 4k_2 = m_1 - 2l_1 + 4k_1 - 2(l_1 - 2k_1) + 4(4l_1 - 2m_1 - 7k_1) = - 20k_1 - 7m_1 + 4l_1}\)

...itd, aż do \(\displaystyle{ k_6}\)

Prawde mówiąc nie chce mi się dalej wklepywać i przyznam, że napewno jest jakiś lepszy sposób, ale mi nie przychodzi do głowy...

Yavien · Post autor: **Yavien** » 22 lut 2005, o 22:41

A moze liczyc od tylu?
5 dnia rano bylo k wilkow, l baranow i m wezy
6 dnia rano ma zostac jeden wilk, wiec mamy, ze 2l-m-3k = 1
ograniczenie:
\(\displaystyle{ l-2k\geq 0 \\ m-2l+4k\geq 0}\)
to jest spelnione dla
k=2, l=4 i m=0 (i szostego dnia jest 1 wilk, 0 baranow, 0 wezy)
k=3, l=6 i m=1 (i szostego dnia jest 1 wilk, 0 baranow, 1 waz)
albo k=3, l=7, m=3
i mozna jeszcze 'kilka' zestawow liczb wynalezc
Ale skoro

O brzasku szóstego dnia o godzinie 6 rano, w tym zakątaku raju przetrwał tylko jeden wilk.

to rozumiem, ze chodzi o ten pierwszy przypadek, kiedy juz zadnych innych zwierzat nie ma.

[ Dodano: Wto 22 Lut, 2005 22:44 ]
Wiec pierwszego dnia o 6 rano jest k=145, l=378, m = 232

Arbooz · Post autor: **Arbooz** » 22 lut 2005, o 22:48

Raczej chodzi o ten 2 przypadek, bo gdyby zostalo 0 wezy, to kto by ukasil ostatnie wilki?

Aha i machnąłem się w jednym miejscu w obliczeniach juz poprawiłem

Yavien · Post autor: **Yavien** » 22 lut 2005, o 22:53

No tak, ale piatego dnia byl tez tylko jeden wilk, za to byly jeszcze 2 barany
przedostatnie wilki padly w nocy z 3 na 4 dzien:
kopiuje z excela, nie chce mi sie robic tabelki w texu, moze jak bede miec czas:

Kod: Zaznacz cały

Godz |      6:00      |      8:00       |     12:00       |     20:00
zwie |wil | bar | wez | wil | bar | wez | wil | bar | wez | wil | bar | wez
1 dz |145 | 378 | 232 | 145 |  88 | 232 | 145 |  88 |  56 | 145 |  88 |  56
2 dz | 33 |  88 |  56 |  33 |  22 |  56 | 33  |  22 |  12 |  33 |  22 |  12
3 dz | 9  |  22 |  12 |  9  |  4  |  12 | 9   |  4  |  4  |  9  |  4  |  4
4 dz | 1  |  4  |  4  |  1  |  2  |  4  | 1   |  2  |  0  |  1  |  2  |  0
5 dz | 1  |  2  |  0  |  1  |  0  |  0  | 1   |  0  |  0  |  1  |  0  |  0
6 dz | 1  |  0  |  0

zonkers · Post autor: **zonkers** » 23 lut 2005, o 13:10

lolz Yavien jest super!
wiem ze prawidlowy wynik to 145 wilkow. a moze szpowiedziec czy robilas to metada prob i bledow czy ze wzoru wyciaglas?

P.S
Nie rozumiem tego

6 dnia rano ma zostac jeden wilk, wiec mamy, ze 2l-m-3k = 1

mi wychodzi po calym dniu ze powinno byc 4l - 2m - 7k wilków. Nie wiem skad sie wzielo 2 ;/ probowalem inaczej ale wychodzilo by na to ze podczas przejscia z dnia 5 na 6 nie moge mnozyc tej sumy wtedy by byo tez inaczej

Arbooz · Post autor: **Arbooz** » 23 lut 2005, o 21:43

Sry, to chyba moja wina... zle policzylem na początku a Yavien sie zasugerowała...

zonkers · Post autor: **zonkers** » 23 lut 2005, o 21:53

no coz ? ale jesli skolei ja dobrze policzylem a Yasmine wyszedl dobry wynik > <
to nie wiem ... jak to w tych tabelkach wprowadzila ? metoda prob i bledow ? czy za pomoca wzorow ?

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 23 lut 2005, o 22:13

zonkers pisze:no coz ? ale jesli skolei ja dobrze policzylem a Yasmine wyszedl dobry wynik > <
to nie wiem ... jak to w tych tabelkach wprowadzila ? metoda prob i bledow ? czy za pomoca wzorow ?

Yasmine??

Yavien

Yavien · Post autor: **Yavien** » 24 lut 2005, o 05:57

Jasne, ze za pomoca wzorow Tu na forum zaczelam glosno myslec, zasugerowalam sie tym co bylo wczesniej, ale wazniejsza byla idea, obliczenia robilam w excelu.
Myslenie generalnie jest takie: ide od dolu:

Jesli pewnego dnia o 6 rano jest
- \(\displaystyle{ a}\) wilkow
- \(\displaystyle{ b}\) baranów
- \(\displaystyle{ c}\) wezy
To poprzedniego dnia o 20 wieczorem, tuz przed ugryzieniem jest
- \(\displaystyle{ a+2\cdot c}\) wilkow
- \(\displaystyle{ b}\) baranów
- \(\displaystyle{ c}\) wezy
A poprzedniego dnia o 12 w poludnie, tuz przed rozdeptaniem jest
- \(\displaystyle{ a+2\cdot c}\) wilkow
- \(\displaystyle{ b}\) baranów
- \(\displaystyle{ c+2\cdot b}\) wezy
I poprzedniego dnia o 8 rano, tuz przed zjedzeniem jest
- \(\displaystyle{ a+2\cdot c}\) wilkow
- \(\displaystyle{ b+2\cdot a+4\cdot c}\) baranów
- \(\displaystyle{ c+2\cdot b}\) wezy
Czyli cala dobe wczesniej, o 6 rano jest
- \(\displaystyle{ a+2\cdot c}\) wilkow
- \(\displaystyle{ b+2\cdot a+4\cdot c}\) baranów
- \(\displaystyle{ c+2\cdot b}\) wezy
Zatem 6 dzien o 6 rano: jest 1 wilk, 0 baranow i 0 wezy
- \(\displaystyle{ a=1}\) wilk
- \(\displaystyle{ b=0}\) baranów
- \(\displaystyle{ c=0}\) wezy
5 dzien o 6 rano
- \(\displaystyle{ 1+2\cdot 0 = 1}\) wilk
- \(\displaystyle{ 0+2\cdot 1 + 4\cdot 0 = 2}\) barany
- \(\displaystyle{ 0+2\cdot 0 = 0}\) wezy
4 dzien o 6 rano
- \(\displaystyle{ 1+2\cdot 0 = 1}\) wilk
- \(\displaystyle{ 2+2\cdot 1+ 4\cdot 0 = 4}\) barany
- \(\displaystyle{ 0+2\cdot 2 = 4}\) weze
3 dzien o 6 rano ............ liczyc mi sie nie chce

Wypisalam sobie to w excelu, metoda kopiuj formuly, wiec wzoru globalnego nie podam, zreszta nie widze potrzeby

Ps. Jasmin raczej nie kwitnie jesienia, a Yavien (Yavienna) to oznacza Jesien (Jesienna), czyli moja ulubiona pore roku.