Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Kangur, Alfik, Mistrzostwa w Grach Logicznych, Sejmik, Konkurs PW... Słowem - konkursy ogólnopolskie, ale nie OM.
Awatar użytkownika
MalinaZMelonami
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 28 wrz 2016, o 18:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: MalinaZMelonami »

Dwa ostatnie zadania były wg mnie dość trudne, reszta w miarę ok. W drugim zrobiłem tylko przypadek z wynikiem 49, bo wydawało mi się, że chodzi o kolejne wierzchołki, ale nie jestem pewny. 7 nie zrobiłem, w 6 zabrakło mi z 15 min, żeby dokończyć. Doliczyłem się, że wysokość całego ostrosłupa jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\). Czy komuś też tak wyszło i czy ktoś doszedł do końcowego wyniku?
skadziolka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 28 sty 2018, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: skadziolka »

Mi wyszła wysokość 20, ale nie mam najmniejszego pojęcia czy to jest dobrze
Michal2311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 gru 2017, o 14:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: Michal2311 »

W moim odczuciu zadania były łatwe. najtrudniejsze wg mnie było uwzględnienie w zadaniu 7., że funkcja nie jest określona dla \(\displaystyle{ \left\langle- \sqrt{3}; \sqrt{3} \right\rangle}\) . A w zadaniu 6. Obliczenia-okropne liczby, które wychodziły w trakcie i utrudniały liczenie. Z kombinatoryką mojej klasie się udało, bo w tamtym tygodniu nauczycielka zdążyła zacząć i robiliśmy takie zadanie jak pierwsze dopiero co . Chociaż sporo osób nie wpadło na to, żeby obliczyć sumę cyfr w pierwszym i nie umiało sprawdzić ile jest takich liczb pierwszych.
kondziu28 pisze:6. Moim zdaniem najtrudniejsze Wpaść żeby rozpatrzyć dwa przypadki, a później obliczyć ten z sąsiednimi Trudne... Też jestem pewny że nie awansuję dalej, ale za rok będę próbował
Mam pytanie - jakie 2 przypadki? Ja tu widzę jeden przypadek-wyliczyć wysokość ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną z tw. cosinusów. Potem z podobieństwa i Pitagorasa wysokość ściany bocznej opuszczonej na krawędź podstawy. Wtedy z Pitagorasa można było obliczyć wysokość całego ostrosłupa. Potem pozostają obliczenia związane z pociętym ostrosłupem i tutaj też jakoś drugiego przypadku nie widzę

Co do wyników w zadaniu 6.:Z tego co porównywałem z kolegami, to bardzo różne wyniki wychodziły. Mi wyszło jakość tak: Wysokość H=\(\displaystyle{ \sqrt{3- \sqrt{2} }}\)(Albo 2 z 3 na odwrót, tego nie pamietam). A odlegość wyszła mi d=H*\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{2}-1 }{ \sqrt[3]{3} }}\). Ktoś jeszcze otrzymał taki wynik?
Ostatnio zmieniony 28 sty 2018, o 20:32 przez Michal2311, łącznie zmieniany 1 raz.
syzymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 28 sty 2018, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: syzymon »

Czy komuś jeszcze w zadaniu 6 wyszło \(\displaystyle{ h= \sqrt{ \sqrt{2} - 1}}\) oraz wynik końcowy \(\displaystyle{ (\sqrt{ \sqrt{2} - 1})( \sqrt[3]{2/3} - \sqrt[3]{1/3})}\)?
Michal2311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 gru 2017, o 14:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość

Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: Michal2311 »

syzymon pisze:Czy komuś jeszcze w zadaniu 6 wyszło \(\displaystyle{ h= \sqrt{ \sqrt{2} - 1}}\) oraz wynik końcowy \(\displaystyle{ (\sqrt{ \sqrt{2} - 1})( \sqrt[3]{2/3} - \sqrt[3]{1/3})}\)?
No to podobnie bardzo. Ciekawe jaki wynik ostatecznie jest tym poprawnym
nazkord
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 28 sty 2018, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: nazkord »

A co sądzicie o drugim? Były tam dwa przypadki? Czy tylko jeden dla którego ta odległość wychodziła 49?
Michal2311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 gru 2017, o 14:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: Michal2311 »

nazkord pisze:A co sądzicie o drugim? Były tam dwa przypadki? Czy tylko jeden dla którego ta odległość wychodziła 49?
Prawdę mówiąc sam nie wiem. Ja założyłem, że ze względu na "odpowiednio" w treści ten, gdzie wychodzi 49. Ale wszystko zależy od interpretacji. Teoretycznie mogliby zrobić tak jak na GMiLu 2 lata temu w zadaniu z dziadkiem i różne odpowiedzi uznawać wszystkie na 10 punktów. Albo ocenią tak, żeby bardziej im ilość finalistów odpowiadała...
nazkord
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 28 sty 2018, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: nazkord »

A pamięta ktoś wyniki z analitycznej? Ja miałem współrzędne A(17;-2) B(1;6) C(-4;1). Nie wiem tylko czy gdzieś w obliczeniach się nie pomyliłem, bo ogólnie zadanie było dość proste.
Michal2311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 gru 2017, o 14:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: Michal2311 »

nazkord pisze:A pamięta ktoś wyniki z analitycznej? Ja miałem współrzędne A(17;-2) B(1;6) C(-4;1). Nie wiem tylko czy gdzieś w obliczeniach się nie pomyliłem, bo ogólnie zadanie było dość proste.
Takie same wyniki mi wyszły, więc pewnie oboje mamy okey
nazkord
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 28 sty 2018, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: nazkord »

Całe szczęście, teraz tylko w zależności od tego jak mi zinterpretują zadanie z kwadratem będzie zależał mój awans do finału
Valiors
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 162
Rejestracja: 3 paź 2012, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: Valiors »

Moje rozwiązania:

1. Liczb jest \(\displaystyle{ 600}\), wybieramy pierwszą od lewej cyfrę na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów, następnie permutujemy pozostałe cyfry na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów. Liczb parzystych jest \(\displaystyle{ 312}\). Aby liczba była parzysta w tym zadaniu, cyfrą jedności musi być \(\displaystyle{ 0, 2}\) lub \(\displaystyle{ 4}\). Jeśli cyfrą jedności jest \(\displaystyle{ 0}\) to pozostałe cyfry permutujemy na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów. Jeśli cyfrą jedności jest \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) to stawiamy \(\displaystyle{ 0}\) na jednej z \(\displaystyle{ 4}\) pozycji (bo cyfra jedności jest już wybrana, a cyfra setek tysięcy nie może być zerem) i permutujemy pozostałe \(\displaystyle{ 4}\) cyfry na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów. Razem \(\displaystyle{ 5! + 2 \cdot 4 \cdot 4!}\). Liczba liczb pierwszych wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Jest tak, ponieważ suma cyfr dowolnej liczby wynosi \(\displaystyle{ 15}\), więc liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Ponadto, żadna z nich oczywiście nie jest trójką, więc każda z nich jest złożona.

2. Załóżmy, że czwartym wierzchołkiem jest \(\displaystyle{ D}\). Rozważmy dwa przypadki. Pierwszy z nich, prostszy, jest wtedy gdy \(\displaystyle{ |PA| = |PB| = 35cm}\) i \(\displaystyle{ |PC| = 49cm}\). Wtedy punkt \(\displaystyle{ P}\) jest w takiej samej odległości od \(\displaystyle{ A}\) jak od \(\displaystyle{ B}\), zatem leży on na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\), która jest również symetralną odcinka \(\displaystyle{ CD}\). Zatem \(\displaystyle{ |PD| = 49cm}\). Drugi przypadek jest gdy \(\displaystyle{ |PA| = |PC| = 35}\) i \(\displaystyle{ |PB| = 49cm}\). Wtedy punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na przekątnej \(\displaystyle{ BD}\). Dorysujmy przekątną \(\displaystyle{ AC}\) i oznaczmy przez \(\displaystyle{ E}\) punkt przecięcia przekątnych. Niech \(\displaystyle{ a = |PE|}\) oraz \(\displaystyle{ b = |EB|}\). Wtedy \(\displaystyle{ |DE| = b - a}\), ponieważ przekątne dzielą się w połowie. Ponadto \(\displaystyle{ |EC| = b}\). Zatem dla trójkąta \(\displaystyle{ ECD}\) zachodzi równość z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = 35^2}\). Zauważmy również, że \(\displaystyle{ a + b = 49}\). Z tych dwóch równań można wyznaczyć, że \(\displaystyle{ a = 21}\) natomiast \(\displaystyle{ b = 28}\), więc \(\displaystyle{ |PD| = b - a = 7cm}\).

3. Pomnóżmy obie strony przez 3, otrzymamy \(\displaystyle{ \sqrt{3a^2 + 3b^2 + 3c^2} \ge a + b + c}\). Jeśli \(\displaystyle{ a + b + c < 0}\) to nierówność oczywiście zachodzi, bo lewa strona jest zawsze nieujemna. Jeśli \(\displaystyle{ a + b + c \ge 0}\) to możemy obie strony podnieść do kwadratu (ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2}\) jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ left[ 0, +infty
ight)}\)
). Po przeniesieniu na jedną stronę i przegrupowaniu oraz skorzystaniu ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( a - b \right) ^2 + \left( b - c \right) ^2 + \left( c - a \right) ^2 \ge 0}\).

4. Dziedziną jest \(\displaystyle{ \left( 0, 1 \right) \cup \left( 1, +\infty \right)}\), ponieważ podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od \(\displaystyle{ 1}\). Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ \log _x \left( 10^k \right) = k \cdot \log _x \left( 10 \right)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \log _x \left( 10 \right) \cdot \left( 1 + 2 + ... + 100 \right) = \log _x \left( 10 \right) \cdot \frac{100 \cdot 101}{2}
= 10100}\)
, czyli \(\displaystyle{ log _x \left( 10 \right) = 2}\), więc \(\displaystyle{ x = \sqrt{10}}\).

5. Oznaczmy prostą zawierającą \(\displaystyle{ AB}\) jako \(\displaystyle{ k}\), prostą zawierającą \(\displaystyle{ BC}\) jako \(\displaystyle{ l}\), prostą zawierającą dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BCA}\) jako \(\displaystyle{ r}\). Punkt \(\displaystyle{ B}\) leży na przecięciu prostych \(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ l}\). Rozwiązując układ równań z tymi prostymi możemy wyznaczyć współrzędne punktu \(\displaystyle{ B}\). Są to \(\displaystyle{ \left( 1, 6 \right)}\). Analogicznie punkt \(\displaystyle{ C}\) jest na przecięciu prostych \(\displaystyle{ l}\) oraz \(\displaystyle{ r}\). Jego współrzędne to \(\displaystyle{ \left( -4,
1 \right)}\)
. Jest wiele sposobów na wyznaczenie współrzędnych punktu \(\displaystyle{ A}\). Sinus kąta między wektorami \(\displaystyle{ \vec{CB}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{CD}}\) jest taki sam jak między wektorami \(\displaystyle{ \vec{CD}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{CA}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ r}\). Możemy zatem ułożyć równanie, z którego wyznaczymy współrzędne punktu \(\displaystyle{ A}\), które wynoszą \(\displaystyle{ \left( 17, -2 \right)}\). Równanie te będzie zawierać zmienne \(\displaystyle{ x,
y}\)
, ale to nie problem, ponieważ możemy jedną z nich wyznaczyć z równania prostej \(\displaystyle{ k}\).

6. Aby rozwiązać te zadanie, trzeba dobrze wyobrazić sobie sytuację z zadania. Na tej stronie znajduje się rysunek podobnej konfiguracji [ciach]. Aby wyznaczyć wysokość \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa można np. policzyć wysokość \(\displaystyle{ h}\) ściany bocznej, taką jak w zalinkowanym rysunku. Oznaczmy jako \(\displaystyle{ l}\) długość krawędzi bocznej. Wtedy zachodzi \(\displaystyle{ \left( \frac{\sqrt{2}}{2}a \right) ^2 + H^2 = l^2}\) oraz \(\displaystyle{ h^2 + \left( l - \sqrt{a^2 - h^2} \right) ^2 = l^2}\). Znamy wszystko oprócz \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ l}\), ale mamy dwa równania, więc możemy wyznaczyć obie zmienne. Po rozwiązaniu \(\displaystyle{ H = \sqrt{\sqrt{2} - 1}}\). Niech \(\displaystyle{ H_1}\) będzie odległością wierzchołka ostrosłupa od pierwszej płaszczyzny (tj. najbliższej wierzchołkowi) natomiast \(\displaystyle{ H_2}\) odległością drugiej płaszczyzny od wierzchołka ostrosłupa. Wtedy wynikiem będzie \(\displaystyle{ H_2 - H_1}\) Bryły powstałe po rozcięciu ostrosłupa mają równe objętości. Zauważmy, że najwyższa bryła jest ostrosłupem. Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie skalą podobieństwa tego małego ostrosłupa z całym ostrosłupem. Stosunek objętości jest równy sześcianowi skali podobieństwa, a więc \(\displaystyle{ k^3 = \frac{1}{3}}\). Dzięki temu możemy wyznaczyć \(\displaystyle{ H_1}\) oraz \(\displaystyle{ H_2}\) i policzyć, że \(\displaystyle{ H_2 - H_1 = \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1} \cdot \left( \sqrt[3]{18} - \sqrt[3]{9} \right) }{3}}\).

7. Zauważmy, że \(\displaystyle{ f \left( x \right)}\) jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym \(\displaystyle{ a_1 = x}\), natomiast \(\displaystyle{ q = \frac{3}{x^2}}\). Aby był on zbieżny, musi zachodzić \(\displaystyle{ |q| < 1}\), a więc \(\displaystyle{ x \in \left( -\infty, -\sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3}, +\infty \right)}\). Zgodnie ze wzorem na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego mamy, że \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{x^3}{x^2 - 3}}\). Funkcja jest rosnąca w przedziałach, w których pochodna jest dodatnia, a malejąca w tych, w których pochodna jest ujemna. Zatem wyznaczmy pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Jest to \(\displaystyle{ f' \left( x \right) =\frac{x^2}{ \left( x^2 - 3 \right) ^2} \cdot \left( x - 3 \right) \left( x + 3 \right)}\). Czynnik \(\displaystyle{ \frac{x^2}{ \left( x^2 - 3 \right) ^2}}\) jest w naszej dziedzinie zawsze dodatni (dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistego jest nieujemny, ale w tym przypadku zerem być nie może, bo to by znaczyło że \(\displaystyle{ x^2 = 0}\), czyli \(\displaystyle{ x = 0}\), co jest sprzeczne z dziedziną). Zatem znak naszej pochodnej zależy tylko od \(\displaystyle{ \left( x - 3 \right) \left( x + 3 \right)}\). Łatwo zauważyć teraz, że funkcja \(\displaystyle{ }\) najpierw rośnie w \(\displaystyle{ \left( -\infty, -3 \right]}\), potem maleje w \(\displaystyle{ \left( -3, -\sqrt{3} \right)}\), znowu maleje w \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}, 3 \right]}\) i rośnie w \(\displaystyle{ \left( 3, +\infty \right)}\).
Ostatnio zmieniony 29 sty 2018, o 12:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Linkowanie do konkurencyjnego serwisu. Symbol mnożenia to \cdot.
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: PoweredDragon »

syzymon pisze:Czy komuś jeszcze w zadaniu 6 wyszło \(\displaystyle{ h= \sqrt{ \sqrt{2} - 1}}\) oraz wynik końcowy \(\displaystyle{ (\sqrt{ \sqrt{2} - 1})( \sqrt[3]{2/3} - \sqrt[3]{1/3})}\)?
Tak, z resztą nie ty jeden masz taki wynik, a już się bałem. Ja niestety dopiero pod koniec policzyłem stosunki wyskości odpowiednich ostrosłupów względem tej największej z podobieństwa ostrosłupów. Mój błąd, wstyd, ale to stereo, więc kij xD

W piątym zadaniu wydaje mi się, że skopałem (przy rozwiązywaniu po konkursie na pewno na małym błędize) natomiast w trakcie nie mam pewności, nie bardzo pamiętam, ale możliwe, że mam podobny wynik :V
Gertis12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 kwie 2016, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: Gertis12 »

Są już wyniki! I jak, zadowoleni?
Michal2311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 gru 2017, o 14:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: Michal2311 »

Gertis12 pisze:Są już wyniki! I jak, zadowoleni?
I tak i nie- z jednej strony przeszedłem i z matmy i z fizyki, z drugiej zbyt dużo punktów ponad próg nie miałem :/ No ale nic, ważne, aby w finale złapać punkty, a tutaj ważne, że nie jest poniżej 70
syzymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 28 sty 2018, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Olimpiada "O diamentowy indeks AGH"

Post autor: syzymon »

Udało się zrobić 79/100, w zadaniu 2 za rozważenie tylko tego prostszego przypadku dawali 3/10, w zadaniu 3 nie rozważyłem jakiegoś jednego przypadku ujemnego i 8/10, za zadanie 5 z dobrym początkiem i opisanym poprawnym pomysłem, ale mnóstwem błędów rachunkowych 8/20, pozostałe max. Zadania, jak na AGH, chyba za proste nie były, kilku znajomych ma równo 70 pkt.
ODPOWIEDZ