1. Można wybrać 4 liczby tak, aby suma każdych spośród 3 z nich nie była podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Te liczby to 2 liczby o reszcie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ 2}\) liczby o reszcie \(\displaystyle{ b, a\neq b}\) i \(\displaystyle{ a,b}\) to \(\displaystyle{ 0, 1}\) lub \(\displaystyle{ 2.}\) Przy wyborze piątej liczby zauważamy że niezależnie od jej reszty będą istnieć liczby których suma będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
2. \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
3. -
4. \(\displaystyle{ 2 \sqrt{7}}\)
5. \(\displaystyle{ f \left( x \right) =2x^{2}-4x \\
g \left( x \right) =2 \left( x+3 \right) ^{2}-8 \\
h \left( x \right) =-2 \left( x+3 \right) ^{2}+14}\)
7.
a) \(\displaystyle{ 4}\)
b) \(\displaystyle{ 2}\)
c) \(\displaystyle{ x+3}\)
Ostatnio zmieniony 30 sty 2017, o 23:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód:Częściowy brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Ja to ugryzłem tak, że z licznika i mianownika z granicy wyciągnąłem \(\displaystyle{ (\frac{1}{4}) ^{n}}\) i wtedy granica wyszła mi 4. Suma współczynników parzystych to 3 i nieparzystych to 1. \(\displaystyle{ ( S_{p}=3}\) ; \(\displaystyle{ S_{n} =1)}\)
Skoro suma współczynników to 4 to \(\displaystyle{ W(1)=4}\) czyli jest to reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ x-1}\). Reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ x+1}\) to \(\displaystyle{ W(-1)}\) to będzie 2, dlatego że przy współczynnikach parzystych będzie 1 a przy nieparzystych -1 czyli jest to \(\displaystyle{ S_{p} - S_{n} =2}\)
Żeby znaleźć resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\), którą będzie dwumian \(\displaystyle{ ax+b}\) bo \(\displaystyle{ W(1) \neq W(-1)}\), rozwiązuje układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=a+b \\ W(-1)=-a+b \end{cases}}\) i wychodzi \(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=3 \end{cases}}\), czyli \(\displaystyle{ R(x)=x+3}\)
Żeby znaleźć resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\), którą będzie dwumian \(\displaystyle{ ax+b}\) bo \(\displaystyle{ W(1) \neq W(-1)}\), rozwiązuje układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=a+b \\ W(-1)=-a+b \end{cases}}\) i wychodzi \(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=3 \end{cases}}\), czyli \(\displaystyle{ R(x)=x+3}\)
Czyli \(\displaystyle{ W(1)=R(1)=4}\) i \(\displaystyle{ W(-1)=R(-1)=2}\).
Z twierdzenia wynika, że po podzieleniu wielomianu stopnia \(\displaystyle{ n-tego}\) przez wielomian stopnia \(\displaystyle{ k-tego}\) otrzymamy resztę stopnia co najwyżej stopnia \(\displaystyle{ (k-1)-tego}\).
Czyli po podzieleniu przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\) otrzymamy resztę postaci \(\displaystyle{ ax+b}\)
pg52 pisze:Suma współczynników parzystych to 3 i nieparzystych to 1.
Szybkie pytanie: Skąd to wiemy?
Edit: Już jasne, czytanie poleceń jednak ma perspektywy. Nie wierzę że utknąłem na dobre 10 minut po zrobieniu podpunktu a) a wystarczyło doczytac polecenie
myślę, że teraz już na pewno bedzie cos z prawdopodobieństwa. Dziwne też,że geometrii analitycznej nie było. Ogólnie to z tych wszystkich zadań tylko ostatnie było trudne-- 24 lut 2017, o 17:24 --A mogę spytać jakim sposobem zrobiłeś zadanie z funkcjami?
Jak dotąd system przyjmowania na studia laureatów działał tak że jak się było finalistą to się nie miała żadnych bonusów, jak się było laureatem III stopnia to cię przyjmowali wszędzie oprócz IET a jak się miało II lub I stopień to cię przyjmowali wszędzie. W tym roku słyszałem że coś się zmieniało i na IET też już wystarczy tylko III stopień laureata - czy tak faktycznie jest i to zmienili?
Jak wasze wrażenia po ostatnim etapie? Mi udało zrobić się wszystkie zadania,ale popełniłem mnóstwo idiotycznych błędów w pierwszych czterech zadaniach i musiałem w trakcie tracić czas na poprawianie, a po napisaniu konkursu okazało się,że zrobiłem głupi błąd, przez który mogę stracić kilka pkt, więc generalnie jak zdobędę powyżej 85pkt to będę skakał z radości
