Finał 14 edycji konkursu Politechniki Warszawskiej

[bakala12]

No i jak poszło? Jakie wrażenia odnośnie trudności zadań? Ile obstawiacie na laureata?

[kaszubki]

Zadanka proste. Kto jeszcze zrobił wszystkie?

[Mruczek]

Robiliście w trzecim analizę? Zdaje się, że był podobny poziom zadanek jak w zeszłym roku. Obstawiam 84 na laureata.

[Piotr Rutkowski]

Treść?

[Mruczek]

1. Z odcinka \(\displaystyle{ \left\langle 0, 2\right\rangle}\) wybieramy losowo i niezależnie dwie liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że równanie \(\displaystyle{ a x^{2}+2ax+3b=0}\) będzie miało różne pierwiastki rzeczywiste?

2. Mamy \(\displaystyle{ n}\) punktów \(\displaystyle{ A_{1}, A _{2}, ... ,A_{n}}\) na płaszczyźnie, że żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Tworzymy na wszystkie możliwe sposoby trójki różnych odcinków o końcach w punktach wybranych spośród \(\displaystyle{ n}\) danych punktów. Wyznaczyć liczbę różnych trójkątów, które możemy w ten sposób otrzymać, jeżeli wiemy, że liczba możliwych do utworzenia w ten sposób różnych łamanych otwartych jest dwa razy mniejsza od liczby wszystkich możliwych do utworzenia trójek różnych odcinków o końcach w punktach wybranych spośród \(\displaystyle{ n}\) danych punktów.

3. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ y=f(x)}\), jeżeli
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{2}-4 }{x ^{2}-9 }}\) .
Następnie znaleźć i wykreślić zależność liczby różnych pierwiastków rzeczywistych równania \(\displaystyle{ f(x)=m}\) od rzeczywistego parametru \(\displaystyle{ m}\).

4. Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ 4 \sin(2x)+4 \cos(2x)-4= \frac{\tg x + \sqrt{3} }{\cos x + \sin x}}\)

5. Punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\), \(\displaystyle{ D}\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Na odcinkach \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ AD}\) wybrano odpowiednio punkty \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ Q}\), \(\displaystyle{ R}\) tak, że na czwowokącie \(\displaystyle{ APQR}\) można opisac okrąg. Udowodnij, że

\(\displaystyle{ |AP| \cdot |AB|+|AR| \cdot |AD|=|AQ| \cdot |AC|}\)

[Piotr Rutkowski]

Czy w zadaniu pierwszym jest milczące założenie o rozkładzie jednostajnym?

[Acros]

1 Pierwsze trzeba było metodą pól , wszystko umiałem tylko nie prawdopodobieństwo , ew. całką coś
Ja to robiłem "na zdrowy rozum" i odpowiedź mam ok
2 Fajna kombinatoryka + wielomian do rozłożenia na czynniki
3 Jak co roku jedno darmowe musi być
4 Moją pięta achillesowa , po prostu jeszcze tego nie umiem
5 Baaardzo fajna geometria widać jak byk , że musi być ptolemeusz

Jak na debiut bardzo się cieszę

[bakala12]

No ja mimo wszystko uważam, że trudniejsze niż w zeszłym roku.
3 darmowe 1 i 4 łatwe, 5 z pompego więc dla niektórych darmowe. A drugie, pół godziny więcej i bym je zrobił. No więc ogólnie tytułu nie obronię, ale i tak jest nienajgorzej.

[Kuba56748]

Ktoś rzuci swoimi odpowiedziami?

[kaszubki]

Ukryta treść:    

1) \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)
2) \(\displaystyle{ 10}\) dla \(\displaystyle{ n=5}\)
3) no to proste było
4) \(\displaystyle{ x=\frac{\pi + 6k\pi}{9}}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{2\pi + 6k\pi}{15}}\) dla całkowitych \(\displaystyle{ k}\).
5) też proste było, najpierw jednokładność, potem potęga punktu i pitagoras.

[Errichto]

Ktoś jeszcze 5 zadanek zaznaczył w ankiecie - przyznać się kto. Mogli dać nieco trudniejsze, żeby o najwyższych miejscach decydowała liczba zrobionych zadań, a nie drobiazgi po 1-2 punkty.
Co do piątego - gdy pałowanie działa, to zadanie nie jest fajne. Ale co zrobić?

Pozostaje nam trzymać kciuki, że Kaszubie potną.

[Acros]

@bakala12 , uczymy się zadanek na pamięć ,co ?

[bakala12]

No jasne daleko bym zaszedł z takim podejściem Jak się solidnie przerobiło Pompego to pewpne zadania po prostu się pamięta.

[kaszubki]

No to geo było naprawdę nieskończenie znane.

[Msciwoj]

Głupi jestem, bo myślałem nad geo jakieś pól minuty, po czym stwierdziłem że to pewnie Ptolemeusz ale go nie widzę, więc przeliczę to analitycznie, bo nie mam czasu. I nawet wyszło. Ale jak teraz na to popatrzyłem jeszcze raz, to szybciej by było, gdybym jednak pomyślał...

I nie wiem jak mogłem nie zauważyć \(\displaystyle{ \sin(x+\frac{\pi}{3})}\) w czwartym...