V Edycja Ogólnopolskiej Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH"

[pitgot]

ok dzięki

[hank]

Wie ktoś kiedy można spodziewać się wyników??

[pitgot]

pewnie gdzieś około 20 kwietnia

[Thy-Duang]

Zamieszczam pytania. Treść niekoniecznie się pokrywa z oryginalną, ale sens jest ten sam - piszę z pamięci.

1. Udowodnij, że wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,\ b}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ a>b}\) spełniają nierówność \(\displaystyle{ a^3-b^3 \ge ab^2-a^2b}\).

2. Oblicz ile dzielników mam liczba \(\displaystyle{ 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7 \cdot 8}\).

3. Suma czterech pierwszych wyrazów rosnącego ciągu arytmetycznego jest równa 0, a suma kwadratów czterech pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa 80. Znajdź wzór na \(\displaystyle{ n-}\)ty wyraz tego ciągu.

4. Rozwiąż nierówność: \(\displaystyle{ \sqrt{x+5} +1>x}\)

5. Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\}}\) losujemy dwie liczby \(\displaystyle{ x,\ y}\) ze zwracaniem tak długo, dopóki nie wylosujemy liczb spełniających warunek \(\displaystyle{ |x|+|y| \le 2}\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
\(\displaystyle{ A}\) - Będziemy losować dokładnie 4 razy
\(\displaystyle{ B}\) - Będziemy losować parzystą ilość razy.

6. To było zadanie z równaniem logarytmicznym. Trzeba było ustalić, dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. Kiedy się poskładało i opuściło logarytmy wychodziło równanie kwadratowe z \(\displaystyle{ \Delta = m^2 +6m -7 = (m+7)(m-1)}\).

7. Bok \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) zawiera się w prostej \(\displaystyle{ y+2x-13=0}\). Bok \(\displaystyle{ BC}\) tego trójkąta zawiera się w prostej \(\displaystyle{ y-x+5=0}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) zawiera się w prostej \(\displaystyle{ y-3x+7=0}\). Znajdź wierzchołki tego trójkąta i oblicz jego pole.

[dsokal]

A co myślicie o zadaniu 5.? Treść była dokładnie taka:

Ze zbioru \(\displaystyle{ L=\left\{ -2,-1,0,1,2\right\}}\) losujemy ze zwracaniem dwie liczby x,y. Następnie powtarzamy to losowanie dotąd, aż otrzymamy punkt (x,y) należący do zbioru
\(\displaystyle{ S=\left\{ (x,y) : |x| + |y| \le 2 \right\}.}\)
Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
A - będziemy losować dokładnie cztery razy,
B - liczba losowań będzie parzysta.

No i teraz według mnie to jest trochę źle napisane, a konkretnie: "losujemy ze zwracaniem dwie liczby x,y". Ja osobiście to tak rozumiem, że losujemy x, losujemy y i dopiero zwracamy, bo losujemy DWIE liczby. Jeżeli zrobimy to w ten sposób to wychodzą bardzo ładne wyniki, bo P(A)=1/16 a P(B)=1/3 .
Co o tym myślicie?

Ja myślę, że nie da się jednoznacznie określić o co im chodziło i zarówno moja wersja jak i ta podana w poprzednich postach jest tak samo dobra.

[szaszana]

A jeśli chodzi o zadanie 6, jak ono powinno być rozwiązane?

[ares41]

Doprowadzenie do kwadratowego i rozpatrzenie kilku przypadków
a) delta zerowa i iks należący do dziedziny
b) delta dodatnia i jeden z pierwiastków na różne sposoby nie należący do dziedziny.

[dsokal]

ad. b)
Na różne sposoby to znaczy na dwa?
Bo z dodatnia delta dałem takie warunki:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\Delta > 0\\f(4/3) < 0\end{array}}\)
lub
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\Delta > 0\\f(4/3) = 0\\x_{1} + x_{2} > 4/3\end{array}}\)

i ponadto rozpatrywałem na dwa sposoby, gdy \(\displaystyle{ m\in(- \infty ; 4/3 \rangle}\) i drugie gdy \(\displaystyle{ m\in(4/3 ; + \infty )}\)

@ares41,
a co myślisz o moim spojrzeniu na prawdopodobieństwo? (ostatni post na poprzedniej stronie)

[ares41]

A gdzie uwzględniłeś warunek \(\displaystyle{ x>m}\) ? (chyba to było w pierwszym logarytmie )

A co do prawdopodobieństwa to raczej wcześniej podany sposób jest poprawny. ( nie pamiętam słowo w słowo treści i nie mogę teraz na spokojnie jeszcze raz to przeanalizować ).

[dsokal]

No dlatego rozpatrywałem na dwóch przedziałach, bo się właśnie dziedzina zmieniała w zależności od m
bo z tego co pamiętam to było x>m i x>3/4 i ja to rozpisałem dla tych właśnie dwóch przedziałów i to uwzględniałem.

Martwi mnie to prawd. bo tak to wszystkie pozostałe wyniki mi się zgadzają ; > poza właśnie prawd., które według mnie można interpretować na różne sposoby.

/edit:
No ja nie neguję tamtego sposobu, bo uważam go na równi z tym, że losujemy x, losujemy y i dopiero zwracamy. Dla mnie nie jest to jasne (mam przed sobą oryginalną kartkę z zadaniami) bo w drugim zdaniu jest że "powtarzamy to LOSOWANIE dotąd, aż otrzymamy punkt (x,y)", czyli ja to tak rozumiem, że wyciągamy to na raz. Z drugiej strony punkt to uporządkowana para liczb i musimy niejako osobno wylosować. Dlatego wnioskuję, że stąd wynika niejednoznaczność tego zadania. Czy mam rację?

[Mruczek]

Można pokazć, z Viete'a, że z \(\displaystyle{ x> \frac{4}{3}}\) wynika \(\displaystyle{ x>m}\).

[pitgot]

"Informujemy, że wyniki III etapu V Ogólnopolskiej Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH" zostaną ogłoszone do 28.04.2012 roku."

[dsokal]

Szanowny Panie

Zadanie nr 5 z matematyki z III etapu V Ogólnopolskiej Olimpiady „O Diamentowy Indeks AGH” jest poprawnie i jednoznacznie sformułowane. Proszę zwrócić uwagę na słowo „następnie” rozpoczynające drugie zdanie. Oznacza to, że losowanie ze zwracaniem, o którym mowa w pierwszym zdaniu dotyczy sytuacji opisanej w tym zdaniu.



Łączę wyrazy szacunku

Przewodniczący Komitetu Głównego Olimpiady

Dr Jerzy Stochel

No to pożegnałem się z indeksem I stopnia
Zostałem przekonany tym e-mailem.

[Marc0]

Jak było w zeszłych latach z wynikami? To znaczy pojawiały się w terminie do którego mają być, czy tydzień wcześniej?

Pozdrawiam

[JakubCh]

mniej wiecej po 2 tygodniach były