IV Edycja Ogólnopolskiej Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH"

[John Rambo]

Powiedźcie mi tylko jedno, jak rozwiązać 4? Chyba jakiegoś zaćmienia dostałem

[Errichto]

\(\displaystyle{ f(x)=x^2+(a-x)^2=x^2+a^2-2ax+x^2=2x^2-2ax+a^2}\)
Albo wierzchołek paraboli i komentarz, że ramiona do góry albo 1. pochodna i do tego komentarz o ramionach do góry albo 2. pochodna.

[Marcinek665]

\(\displaystyle{ f(x)=x^2+(a-x)^2=x^2+a^2-2ax+x^2=2x^2-2ax+a^2}\)
Albo wierzchołek paraboli i komentarz, że ramiona do góry albo 1. pochodna i do tego komentarz o ramionach do góry albo 2. pochodna.

Ukryta treść:    

Rachunek różniczkowy na tak proste i elementarne zadanko?

Ukryta treść:    

Lemma: Dla nieujemnych a,b zachodzi:

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 \ge 2\left( \frac{a+b}{2}\right)^2}\).

Dowód - jest to postać równoważna nierówności: \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{a^2+b^2}{2} } \ge \frac{a+b}{2}}\), która jest prawdziwa (można dla pewności wymnożyć i pozawijać).

Połóżmy tutaj \(\displaystyle{ a:=x}\), \(\displaystyle{ b:=y}\), \(\displaystyle{ x+y=a}\), natychmiastowo otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2 \ge \frac{a^2}{2}}\)

[Errichto]

Rachunek różniczkowy na tak proste i elementarne zadanko?

(co do edytowania) Już nie "syf"?
Jakoś ostatnio przyzwyczaiłem się, by ekstrema zawsze liczyć z pochodnych, ale podałem przecież jako 1. sposób wierzchołek paraboli i komentarz o ramionach do góry.

Ad. Twojego sposobu:
Raczej byłoby konieczne dokładniejsze pokazanie czemu to zachodzi. Poza tym: \(\displaystyle{ x^2+y^2 \ge 0}\) i chyba z tego nie wynika, że rozwiązanie to \(\displaystyle{ 0}\)?
Też okrężna droga "na tak proste i elementarne zadanko".

[John Rambo]

może tak być?
\(\displaystyle{ \frac{d}{\mbox{d}x } (2x^2-2ax+a^2)=4x-2a}\)
dalej \(\displaystyle{ 4x-2a=0 \Leftrightarrow x= \frac{a}{2}}\)
podstawiam pod x: \(\displaystyle{ 2 (\frac{a}{2}) ^{2}-2a \cdot \frac{a}{2}+a^{2}= \frac{a ^{2} }{2}-a ^{2}+a ^{2}= \frac{a ^{2} }{2}}\)
a druga pochodna wynosi 4 i co z tym dalej?

[Errichto]

Jeśli pochodnymi to:
\(\displaystyle{ f(x)=2x^2-2ax+a^2\\f'(x)=4x-2a, \ \ f'(x)=0 \Leftrightarrow x= \frac a2\\f''(x)=4>0\\D=D'=D''=R}\)
Funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna, druga pochodna jest ciągła i dodatnia więc funkcja posiada minimum w punkcie \(\displaystyle{ \frac a2}\).

[Marcinek665]

Rachunek różniczkowy na tak proste i elementarne zadanko?

(co do edytowania) Już nie "syf"?

Stwierdziłem, że to jednak zbyt mocne słowo.

Raczej byłoby konieczne dokładniejsze pokazanie czemu to zachodzi. Poza tym: \(\displaystyle{ x^2+y^2 \ge 0}\) i chyba z tego nie wynika, że rozwiązanie to \(\displaystyle{ 0}\)?

Eee, no wcale

[djlinux]

W 6-tym zadaniu wychodziło z liniowej \(\displaystyle{ p=1}\) i dla kwadratowej \(\displaystyle{ p \in (0, 1)}\) ? Zastanawia mnie czy dobrze przeanalizowałem warunki dla paraboli.

[bakala12]

djlinux, tak \(\displaystyle{ (0,1>}\) w 6
Ja niestety przekombinowałem, ale ogólnie jest ok

[Marcinek665]

Ja jeszcze od siebie dodam, że warto szukać najprostszych (lub wymagających najmniejszej wiedzy) sposobów rozwiązania zadań, gdyż to właśnie one są powszechnie uważane za najładniejsze i najbardziej uczące. A na pewno bardziej niż włożenie zadania w maszynkę zwaną wierzchołkiem paraboli/pochodną.

[kp1311]

W 6 mam (0;1>, jednak powinno być \(\displaystyle{ (0;1> \cup \left\{ \frac{100}{81} \right\}}\),
Trzeba było sprawdzic co sie dzieje kiedy jednym z pierwiastków równania (1-p)x^2 + 2x + 1=0 jest liczba 9 która wypadła z dziedziny...

[Errichto]

Marcinek665, znalezienie wierzchołka paraboli należy chyba do "najprostszych (lub wymagających najmniejszej wiedzy) sposobów rozwiązania zadań", czy może się mylę?

[smigol]

Dlaczego niby 9 wypada z dziedziny? oO

No proszę Cię, jak Ty do takiego zadania nie chcesz używać wierzchołka paraboli to powodzenia na maturze. Ciekawe co tam wymyślisz.

[Marcinek665]

Marcinek665, znalezienie wierzchołka paraboli należy chyba do "najprostszych (lub wymagających najmniejszej wiedzy) sposobów rozwiązania zadań", czy może się mylę?

Trzeba znać wzór na tenże wierzchołek. Mój sposób nie wymaga żadnej wiedzy poza umiejętnością dokonania 2 równoważnych przekształceń. Fakt, na maturze czegoś takiego raczej nie zrobię, bo pewnie potną punkty, ale mówimy tutaj o najprostszej metodzie. Moja metoda jest w zasięgu ambitniejszego ucznia szkoły podstawowej. Z kolei równania kwadratowe są dopiero w szkole średniej, czym zakończę nieprowadzącą do niczego dyskusję.

[smigol]

Ja tylko w obronie niesłusznie oskarżonej matury. Na pewno by nie pocięli punktów gdyby było dobrze.

Ukryta treść:    

A uczniowi podstawówki nie mającemu wcześniej styczności ani z parabolą ani z takimi 'magicznymi' nierównościami' zajęłoby tyle samo czasu wpadnięcie na jedno i drugie.