Bylam dzisiaj na tym konkursie. Oto zadania:
1) Podaj wszystkie pary liczb calkowitych spelniajcae uklad nierownosci:
y-|x^2-2x|>=0
y+|x-1|=R spelnia dla kazdego xeR warunek f(x+a)=(1-f(x))/(1+f(x)) gdzie a0, to jest okresowa w zbiorze R.
3) Trapez rownoramienny o przekatnej 5 cm i obwodzie 16 cm jest opisany na okregu. Znajdz promien r okregu wpisanego w ten trapez i promien R opisanego na nim.
4) W trojkacie ABC poprowadzono dwusieczna AK. Okregi: wpisany w trojkat ABK i opisany na trojkacie ABC maja wspolny srodek. Wyznacz katy trojkata ABC.
Czy mozecie je rozwiazac? Jestem ciekawa jakie sa rozwiazania.[/list]
[Kraków] Miedzyszkolne Zawody Matematyczne
-
g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
[Kraków] Miedzyszkolne Zawody Matematyczne
chyba raczej nie bardzo moglas byc na tym konkursie bo on sie dopiero odbedzie. co najwyzej moglas miec szkolne eliminacje do niego.
o ile mnie pamiec nie myli to to jest tylko w Krakowie, a przypadek sprawil ze dzis u mnie w szkole tez byly eliminacje
w pierwszym bym narysowal sobie na plaszczyznie zbiory spelniajace te dwie nierownosci, zaznaczylbym czesc wspolna i poszukal wewnatrz nich punktow o wspolrzednych calkowitych. nierownosci sa takie ze ten wspolny obszar bedzie dosyc maly. na reszte nie mam pomyslu, ja mialem prostsze
o ile mnie pamiec nie myli to to jest tylko w Krakowie, a przypadek sprawil ze dzis u mnie w szkole tez byly eliminacje
w pierwszym bym narysowal sobie na plaszczyznie zbiory spelniajace te dwie nierownosci, zaznaczylbym czesc wspolna i poszukal wewnatrz nich punktow o wspolrzednych calkowitych. nierownosci sa takie ze ten wspolny obszar bedzie dosyc maly. na reszte nie mam pomyslu, ja mialem prostsze
-
ania_ann
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 18 sie 2008, o 12:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Nowy Sącz/ Kraków
[Kraków] Miedzyszkolne Zawody Matematyczne
Ad. zad.1
Musimy rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - |x^{2} - 2x| qslant 0 \\y + |x - 1| qslant 2\end{cases}}\)
Rozpatrzmy 4 przypadki
I. gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - 2x qslant 0 \\x - 1 qslant 0\end{cases}}\) II. gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - 2x qslant 0 \\x - 1 < 0\end{cases}}\) III. gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - 2x < 0 \\x - 1 qslant 0\end{cases}}\) IV. gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - 2x < 0 \\x - 1 < 0\end{cases}}\)
Ad. Przypadek I.
Rozwiązując układ równań, w którym obydwa wyrażenia znajdujące się pod wartością bezwzględną są nieujemne dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ x )}\). I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - |x^{2} - 2x| qslant 0 \\y + |x - 1| qslant 2\end{cases}}\)
Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - x^{2} + 2x qslant 0 \\y + x - 1 qslant 2\end{cases}}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y qslant x^{2} - 2x\\y qslant - x + 3\end{cases}}\)
Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku \(\displaystyle{ x }\). I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - |x^{2} - 2x| \geqslant 0 \\y + |x - 1| \leqslant 2\end{cases}}\)
Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - x^{2} + 2x \geqslant 0 \\y - x + 1 \leqslant 2\end{cases}}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y \geqslant x^{2} - 2x\\y \leqslant x + 1\end{cases}}\)
Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku \(\displaystyle{ x \in (- \infty , 0>}\) otrzymujemy dwie pary liczb spełniających te wszystkie warunki i założenia: (0,1) i (0,0).
Ad. Przypadek III.
Rozwiązując układ równań, w którym w którym pierwsze wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną jest ujemne, drugie zaś nieujemne dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ x < 1, 2 )}\). I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - |x^{2} - 2x| qslant 0 \\y + |x - 1| qslant 2\end{cases}}\)
Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y + x^{2} - 2x qslant 0 \\y + x - 1 qslant 2\end{cases}}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y qslant - x^{2} + 2x\\y qslant - x + 3\end{cases}}\)
Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku \(\displaystyle{ x < 1, 2 )}\) otrzymujemy dwie pary liczb spełniających te wszystkie warunki i założenia: (1,1) i (1,2).
Ad. Przypadek IV.
Rozwiązując układ równań, w którym obydwa wyrażenia znajdujące się pod wartością bezwzględną są ujemne dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ x (0,1)}\). I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - |x^{2} - 2x| qslant 0 \\y + |x - 1| qslant 2\end{cases}}\)
Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y + x^{2} - 2x qslant 0 \\y - x + 1 qslant 2\end{cases}}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y qslant - x^{2} + 2x\\y qslant x + 1\end{cases}}\)
Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku \(\displaystyle{ x (0,1)}\) okazje się, że w tym przedziale nie ma par liczb całkowitych.
Ostatecznie rozwiązaniem są: \(\displaystyle{ (2,0), (2,1), (0,1), (0,0), (1,1) i (1,2)}\).
[ Dodano: 7 Września 2008, 00:53 ]
Ad. zad. 2
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \mathbb{R}}\) spełnia \(\displaystyle{ \forall x\in R}\) \(\displaystyle{ f(x+a) = \frac{1-f(x)}{1+f(x)}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a\neq0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) f jest okresowa na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
Rozwiązanie
Zauważmy, że tylko funkcja stała spełnia warunek \(\displaystyle{ \forall x\in R}\) \(\displaystyle{ f(x+a) = \frac{1-f(x)}{1+f(x)}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a\neq0}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)\neq-1}\)
A funkcja stała jest funkcją okresową.
Udowodnijmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą
Niech \(\displaystyle{ x=m\in\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ f(m+a_1)= \frac{1-f(x)}{1+f(x)}=q(m)=\{c\}}\)
\(\displaystyle{ f(m+a_2)= \frac{1-f(x)}{1+f(x)}=q(m)=\{c\}}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ f(m+a_n)= \frac{1-f(x)}{1+f(x)}=q(m)=\{c\}}\)
\(\displaystyle{ \forall a_1, a_2, ... ,a_n 0}\) \(\displaystyle{ f(x+a_1)=f(x+a_2)=...=f(x+a_n)}\)
Dla różnych argumentów wartość funkcji jest taka sama \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą.
Musimy rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - |x^{2} - 2x| qslant 0 \\y + |x - 1| qslant 2\end{cases}}\)
Rozpatrzmy 4 przypadki
I. gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - 2x qslant 0 \\x - 1 qslant 0\end{cases}}\) II. gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - 2x qslant 0 \\x - 1 < 0\end{cases}}\) III. gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - 2x < 0 \\x - 1 qslant 0\end{cases}}\) IV. gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - 2x < 0 \\x - 1 < 0\end{cases}}\)
Ad. Przypadek I.
Rozwiązując układ równań, w którym obydwa wyrażenia znajdujące się pod wartością bezwzględną są nieujemne dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ x )}\). I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - |x^{2} - 2x| qslant 0 \\y + |x - 1| qslant 2\end{cases}}\)
Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - x^{2} + 2x qslant 0 \\y + x - 1 qslant 2\end{cases}}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y qslant x^{2} - 2x\\y qslant - x + 3\end{cases}}\)
Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku \(\displaystyle{ x }\). I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - |x^{2} - 2x| \geqslant 0 \\y + |x - 1| \leqslant 2\end{cases}}\)
Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - x^{2} + 2x \geqslant 0 \\y - x + 1 \leqslant 2\end{cases}}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y \geqslant x^{2} - 2x\\y \leqslant x + 1\end{cases}}\)
Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku \(\displaystyle{ x \in (- \infty , 0>}\) otrzymujemy dwie pary liczb spełniających te wszystkie warunki i założenia: (0,1) i (0,0).
Ad. Przypadek III.
Rozwiązując układ równań, w którym w którym pierwsze wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną jest ujemne, drugie zaś nieujemne dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ x < 1, 2 )}\). I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - |x^{2} - 2x| qslant 0 \\y + |x - 1| qslant 2\end{cases}}\)
Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y + x^{2} - 2x qslant 0 \\y + x - 1 qslant 2\end{cases}}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y qslant - x^{2} + 2x\\y qslant - x + 3\end{cases}}\)
Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku \(\displaystyle{ x < 1, 2 )}\) otrzymujemy dwie pary liczb spełniających te wszystkie warunki i założenia: (1,1) i (1,2).
Ad. Przypadek IV.
Rozwiązując układ równań, w którym obydwa wyrażenia znajdujące się pod wartością bezwzględną są ujemne dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ x (0,1)}\). I dla takich właśnie x będziemy szukać rozwiązania układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - |x^{2} - 2x| qslant 0 \\y + |x - 1| qslant 2\end{cases}}\)
Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y + x^{2} - 2x qslant 0 \\y - x + 1 qslant 2\end{cases}}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y qslant - x^{2} + 2x\\y qslant x + 1\end{cases}}\)
Teraz trzeba narysować parabolę i prostą. Po narysowaniu i uwzględnieniu warunku \(\displaystyle{ x (0,1)}\) okazje się, że w tym przedziale nie ma par liczb całkowitych.
Ostatecznie rozwiązaniem są: \(\displaystyle{ (2,0), (2,1), (0,1), (0,0), (1,1) i (1,2)}\).
[ Dodano: 7 Września 2008, 00:53 ]
Ad. zad. 2
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \mathbb{R}}\) spełnia \(\displaystyle{ \forall x\in R}\) \(\displaystyle{ f(x+a) = \frac{1-f(x)}{1+f(x)}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a\neq0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) f jest okresowa na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
Rozwiązanie
Zauważmy, że tylko funkcja stała spełnia warunek \(\displaystyle{ \forall x\in R}\) \(\displaystyle{ f(x+a) = \frac{1-f(x)}{1+f(x)}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a\neq0}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)\neq-1}\)
A funkcja stała jest funkcją okresową.
Udowodnijmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą
Niech \(\displaystyle{ x=m\in\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ f(m+a_1)= \frac{1-f(x)}{1+f(x)}=q(m)=\{c\}}\)
\(\displaystyle{ f(m+a_2)= \frac{1-f(x)}{1+f(x)}=q(m)=\{c\}}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ f(m+a_n)= \frac{1-f(x)}{1+f(x)}=q(m)=\{c\}}\)
\(\displaystyle{ \forall a_1, a_2, ... ,a_n 0}\) \(\displaystyle{ f(x+a_1)=f(x+a_2)=...=f(x+a_n)}\)
Dla różnych argumentów wartość funkcji jest taka sama \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą.
-
frej
[Kraków] Miedzyszkolne Zawody Matematyczne
Niestety nie mogę się zgodzić z rozwiązaniem zadania drugiego. Albo ja tego nie przetworzyłem albo Ty zrobiłaś błąd.
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
[Kraków] Miedzyszkolne Zawody Matematyczne
Błąd jest, bo ania_ann przyjęła nagle, że dane "a" jest zmienne. Stąd fałszywe wnioski. Przy okazji: "ad" to nie jest żaden skrót. Nie stawiamy po nim kropki.
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ f(x+2a)=f(x+a+a)= \frac{ 1 - f(x+a)}{1+f(x+a)}= \frac{ 1- \frac{1-f(x)}{1+f(x)} }{1+ \frac{1-f(x)}{1+f(x)}}=\frac{1+f(x)-1+f(x)}{1+f(x)+1-f(x)}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)}\)
więc w istocie funkcja f jest okresowa o okresie równym 2a.
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ f(x+2a)=f(x+a+a)= \frac{ 1 - f(x+a)}{1+f(x+a)}= \frac{ 1- \frac{1-f(x)}{1+f(x)} }{1+ \frac{1-f(x)}{1+f(x)}}=\frac{1+f(x)-1+f(x)}{1+f(x)+1-f(x)}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)}\)
więc w istocie funkcja f jest okresowa o okresie równym 2a.
[Kraków] Miedzyszkolne Zawody Matematyczne
Ja natomiast zgadzam się z użytkownikiem ania_ann, gdyż w treści zadania nie jest napisane, że \(\displaystyle{ a}\) jest stałe - mamy tylko informację, że \(\displaystyle{ a 0}\), co oznacza, iż funkcja f spełnia podane założenia dla każdego \(\displaystyle{ a 0}\) i przy takim założeniu jedynie funkcja stała może spełnić warunek. Gdyby było powiedziane, iż podana równość jest spełniona dla pewnego z góry ustalonego \(\displaystyle{ a}\), jej rozumowanie byłoby błędne.
-
frej
[Kraków] Miedzyszkolne Zawody Matematyczne
W rozwiązaniu ania_ann wnioski są wzięte z kosmosu, poza tym zapis jest słaby. Mimo wszystko i tak nie rozumiem tego rozwiązania
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
[Kraków] Miedzyszkolne Zawody Matematyczne
W zadaniu nie ma miejsca na takie dywagacje towelie . Treśc jest jasna. Dla dowolnego iksa rzeczywistego rzeczona funkcja przy danym a różnym od zera jest okresowa. Co to oznacza? Że jeśli a=3, to wtedy funkcja f będzie okresowa o okresie równym 6. Jeśli a=-2, to okresem będzie -4. Na tym polega w tym wypadku "dowolność" a.