Konkurs matematyka.pl

Kangur, Alfik, Mistrzostwa w Grach Logicznych, Sejmik, Konkurs PW... Słowem - konkursy ogólnopolskie, ale nie OM.
Awatar użytkownika
Wuja Exul
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 25 kwie 2009, o 22:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Pomógł: 1 raz

Konkurs matematyka.pl

Post autor: Wuja Exul » 16 lip 2009, o 17:22

max pisze:Tak, jak myślałem - myślałem za wolno (ciekawe ile brakło), ale i tak się udało;)
Wysłałem 4 lipca, godz. 15:26. Przy tak prostych zadaniach to loteria, wyniki naszej kategorii mówią same za siebie. Równie dobrze mogłem sprawdzić pocztę trzeciego albo dziesiątego (robię to nieregularnie).

Gratulacje i pozdrowienia.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: max » 16 lip 2009, o 18:38

Racja, ale wynik loterii chyba uczciwy, bo chociaż zadania widziałem w już piątek wieczór, to rozwiązania wysłałem dopiero w sobotę przed 20.

Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Wuja Exul
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 25 kwie 2009, o 22:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Pomógł: 1 raz

Konkurs matematyka.pl

Post autor: Wuja Exul » 17 lip 2009, o 11:13

Wrzucam moje rozwiązania.

1. Po zastosowaniu nierówności Holdera dla \(\displaystyle{ p=q=2}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=\sqrt{f(x)}}\) i \(\displaystyle{ h(x)=x\sqrt{f(x)}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ a^2 \le a^2}\). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała \(\displaystyle{ c}\), że \(\displaystyle{ g(x)=ch(x)}\), co jest niemożliwe, więc funkcja o żądanej własności nie istnieje.

2. Starczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ 23^{23}\equiv3^{23}=27*81^5\equiv7\mod10}\)
oraz \(\displaystyle{ 23^7\equiv3^7=27*81\equiv7\mod10}\).
Stąd wniosek, że ostatnią cyfrą liczby z zadania jest 7.

3. Korzystamy z dwóch własności:
- norma operatora stochastycznego jest równa 1,
- moduł wartości własnej operatora nie przekracza jego normy.

4. Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie rzędem elementu \(\displaystyle{ a}\) w grupe \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ ra=e}\), gdzie \(\displaystyle{ e}\) jest elementem neutralnym grupy \(\displaystyle{ A}\). Z warunków zadania wynika, że liczby \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze, więc istnieją takie liczby całkowite \(\displaystyle{ p,q}\), że \(\displaystyle{ pn+qr=1}\). Stąd
\(\displaystyle{ a=(pn+qr)a=n(pa)+q(ra)=n(pa)+qe=n(pa)}\).
Rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ nx=a}\) jest zatem \(\displaystyle{ x=pa\in A}\).

5. Konstrukcja ta możliwa jest dla kostek trójściennych:
\(\displaystyle{ T_A=\{3,5,7\}, T_B=\{2,4,9\}, T_C=\{1,6,8\}}\).
Aby otrzymać sześcienne wystarczy te zbiory trochę 'rozdmuchać':
\(\displaystyle{ U_A=\{5,6,9,10,13,14\}, U_B=\{3,4,7,8,17,18\}, U_C=\{1,2,11,12,15,16\}}\).
Łatwo policzymy, że wszystkie prawdopodobieństwa z zadania są równe \(\displaystyle{ \frac{5}{9}>\frac{1}{2}}\).

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5847
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2393 razy
Pomógł: 643 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: mol_ksiazkowy » 21 lip 2009, o 21:44

A czy beda kolejne edycje tego wspanialego konkursu czy tez była to jednostkowa inicjatywa...?! Jakie sa plany?!

ODPOWIEDZ