Matematyka.pl

Zad 2
Przez F oznaczmy taki punkt należący do odcinka BC, że odcinek DF jest równoległy do odcinka EA, a przez G oznaczmy punkt będący przecięciem się odcinków CD i EA. Z tw. Talesa \(\displaystyle{ \frac{BF}{BE}=\frac{BD}{DA}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{BE}{2}=BF=FE=EC}\). Dalej używając tw. Talesa twierdzę, że \(\displaystyle{ \frac{EG}{FD}=\frac{CE}{CF}=\frac{1}{2} \ \frac{FD}{EA}=\frac{BD}{BA}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{EG}{EA}=\frac{1}{4}}\). Oznaczmy sobie długość odcinka EG jako b. Wtedy \(\displaystyle{ GA=3b}\). Z równości \(\displaystyle{ \sphericalangle CDA= \sphericalangle EAD}\), wnioskuję, że trójkąt ADG jest równoramienny i \(\displaystyle{ GD=GA=3b}\). Przez H oznaczmy taki punkt należący do prostej AB, taki, że \(\displaystyle{ CD=CH}\). Wtedy \(\displaystyle{ \sphericalangle CHD= \sphericalangle CDH= \sphericalangle EAD}\), a więc proste EA i CH są równoległe. Z tw. Talesa \(\displaystyle{ \frac{EA}{CH}=\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3} \Rightarrow CH=\frac{3}{2}\cdot EA=\frac{3}{2}\cdot 4b=6b}\). Trójkąt CDH jest równoramienny, a zatem \(\displaystyle{ CD=CH=6b}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ DG=GC=GA=3b}\), a zatem w trójkącie ACD środkowa opuszczona z wierzchołka kąta jest równa połowie boku, na który została opuszczona co jest własnością trójkąta prostokątnego z kątem prostym przy wierzchołku, z którego dana środkowa została opuszczona. A zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC=90^{o}}\).