Konkurs matematyka.pl
: 14 lip 2009, o 12:12
autor: enigm32
Heh, to rzezywiście specyficzne masz zdanie na temat ich trudności. Jak dla mnie (od najłatwiejszego): 2, 5, 3, 4, 1. Ale zgadzam się z tym, że wszystkie były raczej proste.Swistak pisze:(...) mam zdecydowanie odmienne mniemanie o ułożeniu ich w kolejności od najłatwiejszego do najtrudniejszego .
W rankingu zbyt wysoko nie będę, ponieważ nie było mnie w domu podczas pierwszych dwóch dni trwania konkursu, a potem robiłem je na szybko przez popołudnie i wieczór, co spoodowało, że mam błąd w jednym ppkt. prawdopodobieństwa.
Zabawa bardzo mi się podoba. Oby to nie była jedyna "edycja".)
No to czekamy na wyniki, bo to ponoć dzisiaj...
To, co wysłałem do sprawdzenia:
Ukryta treść:
Ad. 1.
Pomińmy na razie założenia i rozwiążmy układ metodą analizy starożytnych - na końcu sprawdzimy otrzymane rozwiązania i ewentualnie odrzucimy pierwiastki obce.
Zauważmy, że wartość największa, którą przyjmuje wyrażenie \(\displaystyle{ W(t)=-t^2+t=-t(t-1)}\) wynosi \(\displaystyle{ W(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}}\). Zatem wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^2y^2}}\) nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). (*)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2} \Rightarrow y^3=\sqrt{xy-x^2y^2}-y^6-2x^2 \\ 4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \ge 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2} \end{cases} \\
\begin{cases} y^3=\sqrt{xy-x^2y^2}-y^6-2x^2\\ 4xy^3-y^6-2x^2+\frac{1}{2}-2x^2 \ge \sqrt{1+(2x-y)^2}-\sqrt{xy-x^2y^2} \end{cases}}\)
Zauważmy, że wartość wyrażenia znajdującego się po lewej stronie powyższej nier. nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Rozważając bowiem trójmian kwadratowy zmiennej x \(\displaystyle{ T(x)=-4x^2+4y^3x-y^6+\frac{1}{2}}\), mamy, że jego wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta =16y^2-16y^2+8=8}\), a wartość największa przyjmowana w wierzchołku paraboli będącej wykresem trójmianu wynosi \(\displaystyle{ q=\frac{1}{2}}\).
Wartość wyrażenia znajdującego się po prawej stronie naszej nierówności m.in. na mocy spostrzeżenia (*) jest niemniejsza niż \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\).
Ostatecznie zatem, aby nierówność była prawdziwa musi być, że:
\(\displaystyle{ 4x^2+4y^3x-y^6+\frac{1}{2}=\sqrt{1+(2x-y)^2}-\sqrt{xy-x^2y^2}=\frac{1}{2}}\)
Równanie \(\displaystyle{ -4x^2+4y^3x-y^6=0}\) rozwiążmy ze względu na zmienną x:
\(\displaystyle{ \Delta=0 \\
x=\frac{1}{2}y^3}\)
Druga równość zajdzie oczywiście tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^2}=1}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^2y^2}=\frac{1}{2}}\), co szybko daje nam dwie pary "kandydatów" na rozwiązania: \(\displaystyle{ (-\frac{1}{2};-1);\ (\frac{1}{2};1)}\).
Sprawdzamy, czy rozwiązania te spełniają układ warunków podany w treści zadania i otrzymujemy szukaną parę.
Odp.: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-\frac{1}{2} \\ y=-1 \end{cases}}\).
Ad. 2.
x - masa pierwszego stopu, którą należy wziąć, aby otrzymać trzeci stop zawierający miedź i cynk w stosunku 5:9
y - masa drugiego stopu, którą należy wziąć, aby otrzymać trzeci stop zawierający miedź i cynk w stosunku 5:9
Wtedy stosunek miedzi do cynku w 3. stopie wynosi \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x+\frac{3}{8}y}{\frac{2}{3}x+\frac{5}{8}y}}\).
Kładziemy warunek: \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x+\frac{3}{8}y}{\frac{2}{3}x+\frac{5}{8}y}=\frac{5}{9} \Leftrightarrow y=\frac{4}{3}x}\)
Szukany stosunek \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{x}{\frac{4}{3}x}=\frac{3}{4}}\)
Odp.: Stopy należy zmieszać w stosunku 3:4 (masa stopu 1. do masy stopu 2.), aby otrzymać żądany stop.
Ad. 3.
Wypisując kilka początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ u_n}\) (1; 9; 25; 57; 121;...), możemy zgadnąć wzór na ogólny wyraz tego ciągu:
\(\displaystyle{ a_n=8 \cdot 2^{n-1}-7}\)
Jego prawdziwość udowodnimy metodą indukcji matematycznej:
\(\displaystyle{ 1^o}\)
dla n=1 mamy:
\(\displaystyle{ a_1=8-7=1}\) - zgadza się
\(\displaystyle{ 2^o}\)
zał. ind.: \(\displaystyle{ a_k=8 \cdot 2^{k-1}-7}\)
teza ind.: \(\displaystyle{ a_{k+1}=8 \cdot 2^k-7}\)
dowód:
Zgodnie z przepisem rekurencyjnym na wyraz ciągu podanym w treści zadania oraz wykorzystując zał. ind. mamy, że \(\displaystyle{ a_{k+1}=2 \cdot a_k+7=8 \cdot 2^k-14+7=8 \cdot 2^k-7}\), c.b.d.u. i kończy dowód indukcyjny
Aby podać rozw. zadania, wystarczy znaleźć największą liczbą naturalną n, która spełnia nier.
\(\displaystyle{ 8 \cdot 2^{n-1}-7<9001 \\
8 \cdot 2^{n-1}<9008 \\
2^{n-1}<1126}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ 2^{10}<1126<2^{11}}\), zatem \(\displaystyle{ n-1 \le 10 \Rightarrow n \le 11}\)
Odp.: n=11
Ad. 4.
\(\displaystyle{ \Omega}\) - zbiór wszystkich funkcji przekształcających zbiór {1,2,3,...,25} w zbiór {1,2,3,...,31}.
\(\displaystyle{ |\Omega|=31^{25}}\)
a)
A - zbiór funkcji rosnących należących do zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)
\(\displaystyle{ |A|=\frac{\frac{31!}{6!}}{25!}=\frac{31!}{6! \cdot 25!}}\)
\(\displaystyle{ \underline{P(A)=\frac{31!}{6! \cdot 25! \cdot 31^{25}}}}\)
b)
B - zbiór funkcji, których maksimum wynosi 10 i należą do zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)
\(\displaystyle{ |B|=25 \cdot 10^{24}}\) (co najmniej jednemu argumentowi musi być przyporządkowana wartość 10; pzoostałym - wartości nie większe niż 10)
\(\displaystyle{ \underline{P(B)=\frac{25 \cdot 10^{24}}{31^{25}}}}\)
c)
C - zbiór funkcji, których zbiory wartości są zbiorami 2-elemntowymi i które należą do zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)
\(\displaystyle{ |C|= {31 \choose 2} \cdot (2^{25}-2)}\)
\(\displaystyle{ \underline{P(C)=\frac{{31 \choose 2} \cdot (2^{25}-2)}{31^{25}}}}\)
Ad. 5.
f: R{0}\(\displaystyle{ \rightarrow}\)R
Załóżmy, że taka funkcja istnieje.
W równości \(\displaystyle{ f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x}\) za zmienną \(\displaystyle{ x}\) podstawmy \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\). Otrzymamy równość: \(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x}}\).
Z utworzonego układu równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})}\) wyznaczmy \(\displaystyle{ f(x)}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x \\ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x} \end{cases}\\
f(x)+\frac{12}{x}-16f(x)=3x\\
f(x)=\frac{-3x^2+12}{15x}}\)
Sprawdzamy, czy otrzymana funkcja spełnia równanie z treści zadania:
\(\displaystyle{ \frac{-3x^2+12}{15x}+\frac{\frac{-12}{x}+48x}{15}=3x}\) - zgadza się
Odp.: Szukana funkcja: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{-3x^2+12}{15x}}\), \(\displaystyle{ x \neq 0}\).
Pomińmy na razie założenia i rozwiążmy układ metodą analizy starożytnych - na końcu sprawdzimy otrzymane rozwiązania i ewentualnie odrzucimy pierwiastki obce.
Zauważmy, że wartość największa, którą przyjmuje wyrażenie \(\displaystyle{ W(t)=-t^2+t=-t(t-1)}\) wynosi \(\displaystyle{ W(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}}\). Zatem wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^2y^2}}\) nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). (*)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2} \Rightarrow y^3=\sqrt{xy-x^2y^2}-y^6-2x^2 \\ 4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \ge 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2} \end{cases} \\
\begin{cases} y^3=\sqrt{xy-x^2y^2}-y^6-2x^2\\ 4xy^3-y^6-2x^2+\frac{1}{2}-2x^2 \ge \sqrt{1+(2x-y)^2}-\sqrt{xy-x^2y^2} \end{cases}}\)
Zauważmy, że wartość wyrażenia znajdującego się po lewej stronie powyższej nier. nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Rozważając bowiem trójmian kwadratowy zmiennej x \(\displaystyle{ T(x)=-4x^2+4y^3x-y^6+\frac{1}{2}}\), mamy, że jego wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta =16y^2-16y^2+8=8}\), a wartość największa przyjmowana w wierzchołku paraboli będącej wykresem trójmianu wynosi \(\displaystyle{ q=\frac{1}{2}}\).
Wartość wyrażenia znajdującego się po prawej stronie naszej nierówności m.in. na mocy spostrzeżenia (*) jest niemniejsza niż \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\).
Ostatecznie zatem, aby nierówność była prawdziwa musi być, że:
\(\displaystyle{ 4x^2+4y^3x-y^6+\frac{1}{2}=\sqrt{1+(2x-y)^2}-\sqrt{xy-x^2y^2}=\frac{1}{2}}\)
Równanie \(\displaystyle{ -4x^2+4y^3x-y^6=0}\) rozwiążmy ze względu na zmienną x:
\(\displaystyle{ \Delta=0 \\
x=\frac{1}{2}y^3}\)
Druga równość zajdzie oczywiście tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^2}=1}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^2y^2}=\frac{1}{2}}\), co szybko daje nam dwie pary "kandydatów" na rozwiązania: \(\displaystyle{ (-\frac{1}{2};-1);\ (\frac{1}{2};1)}\).
Sprawdzamy, czy rozwiązania te spełniają układ warunków podany w treści zadania i otrzymujemy szukaną parę.
Odp.: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-\frac{1}{2} \\ y=-1 \end{cases}}\).
Ad. 2.
x - masa pierwszego stopu, którą należy wziąć, aby otrzymać trzeci stop zawierający miedź i cynk w stosunku 5:9
y - masa drugiego stopu, którą należy wziąć, aby otrzymać trzeci stop zawierający miedź i cynk w stosunku 5:9
Wtedy stosunek miedzi do cynku w 3. stopie wynosi \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x+\frac{3}{8}y}{\frac{2}{3}x+\frac{5}{8}y}}\).
Kładziemy warunek: \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x+\frac{3}{8}y}{\frac{2}{3}x+\frac{5}{8}y}=\frac{5}{9} \Leftrightarrow y=\frac{4}{3}x}\)
Szukany stosunek \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{x}{\frac{4}{3}x}=\frac{3}{4}}\)
Odp.: Stopy należy zmieszać w stosunku 3:4 (masa stopu 1. do masy stopu 2.), aby otrzymać żądany stop.
Ad. 3.
Wypisując kilka początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ u_n}\) (1; 9; 25; 57; 121;...), możemy zgadnąć wzór na ogólny wyraz tego ciągu:
\(\displaystyle{ a_n=8 \cdot 2^{n-1}-7}\)
Jego prawdziwość udowodnimy metodą indukcji matematycznej:
\(\displaystyle{ 1^o}\)
dla n=1 mamy:
\(\displaystyle{ a_1=8-7=1}\) - zgadza się
\(\displaystyle{ 2^o}\)
zał. ind.: \(\displaystyle{ a_k=8 \cdot 2^{k-1}-7}\)
teza ind.: \(\displaystyle{ a_{k+1}=8 \cdot 2^k-7}\)
dowód:
Zgodnie z przepisem rekurencyjnym na wyraz ciągu podanym w treści zadania oraz wykorzystując zał. ind. mamy, że \(\displaystyle{ a_{k+1}=2 \cdot a_k+7=8 \cdot 2^k-14+7=8 \cdot 2^k-7}\), c.b.d.u. i kończy dowód indukcyjny
Aby podać rozw. zadania, wystarczy znaleźć największą liczbą naturalną n, która spełnia nier.
\(\displaystyle{ 8 \cdot 2^{n-1}-7<9001 \\
8 \cdot 2^{n-1}<9008 \\
2^{n-1}<1126}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ 2^{10}<1126<2^{11}}\), zatem \(\displaystyle{ n-1 \le 10 \Rightarrow n \le 11}\)
Odp.: n=11
Ad. 4.
\(\displaystyle{ \Omega}\) - zbiór wszystkich funkcji przekształcających zbiór {1,2,3,...,25} w zbiór {1,2,3,...,31}.
\(\displaystyle{ |\Omega|=31^{25}}\)
a)
A - zbiór funkcji rosnących należących do zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)
\(\displaystyle{ |A|=\frac{\frac{31!}{6!}}{25!}=\frac{31!}{6! \cdot 25!}}\)
\(\displaystyle{ \underline{P(A)=\frac{31!}{6! \cdot 25! \cdot 31^{25}}}}\)
b)
B - zbiór funkcji, których maksimum wynosi 10 i należą do zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)
\(\displaystyle{ |B|=25 \cdot 10^{24}}\) (co najmniej jednemu argumentowi musi być przyporządkowana wartość 10; pzoostałym - wartości nie większe niż 10)
\(\displaystyle{ \underline{P(B)=\frac{25 \cdot 10^{24}}{31^{25}}}}\)
c)
C - zbiór funkcji, których zbiory wartości są zbiorami 2-elemntowymi i które należą do zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)
\(\displaystyle{ |C|= {31 \choose 2} \cdot (2^{25}-2)}\)
\(\displaystyle{ \underline{P(C)=\frac{{31 \choose 2} \cdot (2^{25}-2)}{31^{25}}}}\)
Ad. 5.
f: R{0}\(\displaystyle{ \rightarrow}\)R
Załóżmy, że taka funkcja istnieje.
W równości \(\displaystyle{ f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x}\) za zmienną \(\displaystyle{ x}\) podstawmy \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\). Otrzymamy równość: \(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x}}\).
Z utworzonego układu równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})}\) wyznaczmy \(\displaystyle{ f(x)}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x \\ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x} \end{cases}\\
f(x)+\frac{12}{x}-16f(x)=3x\\
f(x)=\frac{-3x^2+12}{15x}}\)
Sprawdzamy, czy otrzymana funkcja spełnia równanie z treści zadania:
\(\displaystyle{ \frac{-3x^2+12}{15x}+\frac{\frac{-12}{x}+48x}{15}=3x}\) - zgadza się
Odp.: Szukana funkcja: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{-3x^2+12}{15x}}\), \(\displaystyle{ x \neq 0}\).