Konkurs matematyka.pl

Kangur, Alfik, Mistrzostwa w Grach Logicznych, Sejmik, Konkurs PW... Słowem - konkursy ogólnopolskie, ale nie OM.
binaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 547
Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 120 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: binaj » 11 lip 2009, o 19:14

według mnie o poziom tu nie chodzi, tylko o typ zadań, co z tego jakby zrobili coś podobnego jak zad. 1/II kategoria tylko, że z 5 niewiadomymi, albo jakieś super skomplikowane prawdopodobieństwo,
kategoria IV byłaby dobrym pomysłem

pozdrawiam

Awatar użytkownika
taka_jedna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 23 sie 2006, o 14:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Aj em from Poland
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 23 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: taka_jedna » 11 lip 2009, o 19:37

Niezbyt ściśle się wyraziłam... Przez trudniejsze zadania rozumiem takie, nad którymi trzeba więcej pomyśleć (tak jak nad olimpijskimi). Czyli mówiąc inaczej jestem za wywaleniem typowo szkolnych zadanek(od tego są sprawdziany a nie konkursy z fajnymi nagrodami) i władowanie samego poziomu olimpijskiego, tyle że również podzielonego na 3 różne kategorie.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: Dumel » 11 lip 2009, o 21:00

moje rozwiazania:

zad. 1. - co nie co
musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ xy-(xy)^2 \ge 0}\) skąd wynika, że \(\displaystyle{ 1 \ge xy \ge 0}\). (łatwo zauwazyc ze nie moze byc \(\displaystyle{ xy=0}\)) ponadto \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^2} \le \frac{1}{2}}\). zauważmy teraz, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge \sqrt{xy-(xy)^2}=y^6+y^2+2x^2}\)
i
\(\displaystyle{ 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+ \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2+1}\)
dodając powyzsze nierówności stronami dostajemy
\(\displaystyle{ 4xy^3 \ge y^6+4x^2}\)
ale stosujac nierownosc miedzy srednia arytmetyczna a geometryczna mamy
\(\displaystyle{ y^6+4x^2 \ge 4|xy^3|=4xy^3}\)
wobec tego musi zachodzic rownosc \(\displaystyle{ 2|x|=|y^3|}\) ktora wobec \(\displaystyle{ xy > 0}\) daje nam \(\displaystyle{ x= \frac{y^3}{2}}\).

dalej nie udało mi sie tego pociagnąć

zad. 2.
wiadomo

zad. 3. - zaszalałem
\(\displaystyle{ u_1=1}\)
\(\displaystyle{ u_2=5}\)
\(\displaystyle{ u_3=25}\)
\(\displaystyle{ u_4=57}\)
\(\displaystyle{ u_5=121}\)
\(\displaystyle{ u_6=249}\)
\(\displaystyle{ u_7=505}\)
\(\displaystyle{ u_8=1017}\)
\(\displaystyle{ u_9=2041}\)
\(\displaystyle{ u_10=4089}\)
\(\displaystyle{ u_11=8185}\)
\(\displaystyle{ u_12=16377}\)
ciag jest rosnacy wiec szukana wartość \(\displaystyle{ n=11}\)
na początku zacząłem liczyć elegancko, ale jak zobaczyłem że tak mało jest do zrobienia to nie utrudniałem sobie życia

zad. 4.
a)
funkcja rosnaca jest roznowartosciowa, wiec 25 roznych wartosci ktore ona przyjmuje jednoznacznie ja wyznacza. wobec tego szukane prawdopodobienstwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{ {31 \choose 25} }{31^{25}}= \frac{23751}{31^{24}}}\)
b)
istnieje \(\displaystyle{ {25 \choose k}9^{25-k}}\) funkcji ktore maksimum \(\displaystyle{ =10}\) przyjmuja dla \(\displaystyle{ k}\) argumentow.
korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{25} {25 \choose k}9^{25-k}=9^{25}(\sum_{k=0}^{25} {25 \choose k}9^{-k}-1)=9^{25}(( \frac{1}{9}+1)^{25}-1)=10^{25}-9^{25}}\)
tak wiec
\(\displaystyle{ P= \frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
c)
dwie wartosci mozna wybrac na \(\displaystyle{ {31 \choose 2}=465}\) sposobow. funkcja jest jednoznacznie wyznaczona przez wstazanie argumentow dla ktorych przyjmuje ona mniejsza wartosc (z tych dwoch), co mozna zrobic na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{24} {25 \choose k} =2^{25}-2}\) sposoby. wobec tego
\(\displaystyle{ P= \frac{465(2^{25}-2)}{31^{25}}}\)
zad. 5.
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{x})+4f(x)= \frac{3}{x}}\)
wstawiajac \(\displaystyle{ x:= \frac{1}{x}}\) dostajemy \(\displaystyle{ f(x)+4f( \frac{1}{x})=3x}\). mnozac stronami pierwsza rownosc przez 4 i odejmujac od niej druga rownosc dostajemy \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4}{5x}- \frac{x}{5}}\). łatwo sprawdzic ze funkac ta spelnia warunki zadania.

Awatar użytkownika
lina2002
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 599
Rejestracja: 27 mar 2008, o 13:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 151 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: lina2002 » 11 lip 2009, o 22:21

Dumel, Twoje rozwiązanie zadania 3. jest po prostu powalające .

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5844
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2388 razy
Pomógł: 643 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: mol_ksiazkowy » 12 lip 2009, o 18:07

Uznajac racje kazdego co sie tu wypowiada, to mysle ze kategoria IV "olimpijczyk" , czy tez jakos podobnie by ja mozna nazwac ma sens, jako ze podnoszenie poziomu zadań w kategoriach Liceum, czy Gimnazjum spowoduje zapewne zmniejszenie zainterosowania, mniej chetnych, co niechybnie skończy sie klapą. Poza tym im wiecej kategorii to kazdy łątwiej znajdzie w tym cos dla siebie....
Tak czy siak nie wiem czy kolejne odslony konkursu beda sie odbywac. Wg mnie warto

Awatar użytkownika
Artist
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 865
Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 239 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: Artist » 12 lip 2009, o 19:28

mol_ksiazkowy pisze: jako ze podnoszenie poziomu zadań w kategoriach Liceum, czy Gimnazjum spowoduje zapewne zmniejszenie zainterosowania, mniej chetnych, co niechybnie skończy sie klapą.
Racja. Wartoby stworzyć kategorie olimpijczyk jako bardziej prestiżową wtedy konkurs stałby się dobrą zaprawą przed olimpiadą i innymi konkursami ogólnopolskimi dla uczestników.
PS1
A tak wogóle to kto dał pomysł na ten konkurs?
PS2
Z czasem nasza liga przegoni może olimpiadę w prestiżu

Awatar użytkownika
tim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 533
Rejestracja: 9 maja 2009, o 18:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 77 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: tim » 12 lip 2009, o 20:41

Ja również brałem udział w gimnazjum. Zobaczymy co to będzie ^^
1 - tyle o ile.
2 - CAŁE.
3 - CAŁE.
4 - tyle o ile.
5 - PRAWIE CAŁE.

Zobaczymy. Lekka rozgrzewka przed pierwszą moją OMG :] (idę do 3 gim).

Ktoś poda rozwiązania?


PS1. Zobaczymy co to będzie dalej... Może następny?
PS2. To samo pytanie co wyżej: Kto jest inicjatorem.
PS3. Zwiększając poziom zadań byłoby już bardzo ciężko (ja ledwo te rozwiązałem, o liceum nawet nie myślałem), ale kategoria olimpijczyk nie byłaby zła.

kammeleon18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 36 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: kammeleon18 » 12 lip 2009, o 21:47

SchmudeJanusz pisze:Zadanie 1.
Rozwiązanie:    


Cóż oto moje rozwiązania, nadesłałem je 4 lipca 2009, 17:37, moge mieć nadzieję że nikt mnie nie wyprzedził, gdyż nie doszukałem się błędu.
Ostatnio zmieniony 14 lip 2009, o 14:43 przez kammeleon18, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
tim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 533
Rejestracja: 9 maja 2009, o 18:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 77 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: tim » 12 lip 2009, o 21:51

Ja przedstawię moje:
Ukryta treść:    

4. Nie wpadłem na to.
5. Mi nie wyszło k = -1...

Edit:
Teraz widzę, że 5 źle zrobiłem, ale nie miałem pomysłu.

Edit 2:
Jeszcze dużo przede mną. :]
Ostatnio zmieniony 12 lip 2009, o 21:59 przez tim, łącznie zmieniany 2 razy.

kammeleon18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 36 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: kammeleon18 » 12 lip 2009, o 21:57

Czy w przypadku k=-1 widzisz inną liczbę rozwiązań??

Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: Zordon » 12 lip 2009, o 22:01

Widzę, że kombinacje w piątym dla gim robiliście, nawet jeśli już ktoś wpadł na rozwiązanie graficzne...
\(\displaystyle{ x^2-y^2=0}\)
\(\displaystyle{ (x-y)(x+y)=0}\)
\(\displaystyle{ x-y=0 \vee x+y=0}\)
czyli dwie proste tworzący krzyżyk.
Drugie równanie to okrąg. I teraz juz latwo odczytac wynik.
Ostatnio zmieniony 12 lip 2009, o 22:04 przez Zordon, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
tim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 533
Rejestracja: 9 maja 2009, o 18:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 77 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: tim » 12 lip 2009, o 22:02

Zordon pisze:Widzę, że kombinacje w piątym dla gim robiliście, nawet jeśli już wpadł na rozwiązanie graficzne...
\(\displaystyle{ x^2-y^2=0}\)
\(\displaystyle{ (x-y)(x+y)=0}\)
\(\displaystyle{ x-y=0 \vee x+y=0}\)
czyli dwie proste tworzący krzyżyk.
Drugie równanie to okrąg. I teraz juz latwo odczytac wynik.
Mi krzyżyk właśnie nie wyszedł, tylko zwykła wartość bezwzględna... Przynajmniej się sprawdzę.

kammeleon18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 36 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: kammeleon18 » 12 lip 2009, o 22:06

Co oznacza że odpowiedź do zad.5 brzmi??

Awatar użytkownika
tim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 533
Rejestracja: 9 maja 2009, o 18:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 77 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: tim » 12 lip 2009, o 22:07

SchmudeJanusz pisze:Co oznacza że odpowiedź do zad.5 brzmi??
k = 1 lub k = -1



To takie smutne... , smak goryczki, ale to pierwszy raz to wiesz, zobaczymy

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

Konkurs matematyka.pl

Post autor: Swistak » 13 lip 2009, o 14:11

Dla mnie zadania z gimnazjum były stosunkowo proste, choć mam zdecydowanie odmienne mniemanie o ułożeniu ich w kolejności od najłatwiejszego do najtrudniejszego .
1, 4, 5 - <1min (tylko nad 5 się trochę zastanawiałem, jak to wszystko sformułować )
2 - ~5min
3 - ~30min xD
W ogóle w 3 zadaniu mnie przestraszyło to, że ta nierówność nie była cykliczna i że równość nie zachodziła dla a=b=c xP.
Zadania wysłałem 6 lipca gdzieś koło 15 (plus minus 1h).

ODPOWIEDZ