max pisze:Tak, jak myślałem - myślałem za wolno (ciekawe ile brakło), ale i tak się udało;)
Wysłałem 4 lipca, godz. 15:26. Przy tak prostych zadaniach to loteria, wyniki naszej kategorii mówią same za siebie. Równie dobrze mogłem sprawdzić pocztę trzeciego albo dziesiątego (robię to nieregularnie).
1. Po zastosowaniu nierówności Holdera dla \(\displaystyle{ p=q=2}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=\sqrt{f(x)}}\) i \(\displaystyle{ h(x)=x\sqrt{f(x)}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ a^2 \le a^2}\). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała \(\displaystyle{ c}\), że \(\displaystyle{ g(x)=ch(x)}\), co jest niemożliwe, więc funkcja o żądanej własności nie istnieje.
2. Starczy zauważyć, że \(\displaystyle{ 23^{23}\equiv3^{23}=27*81^5\equiv7\mod10}\)
oraz \(\displaystyle{ 23^7\equiv3^7=27*81\equiv7\mod10}\).
Stąd wniosek, że ostatnią cyfrą liczby z zadania jest 7.
3. Korzystamy z dwóch własności:
- norma operatora stochastycznego jest równa 1,
- moduł wartości własnej operatora nie przekracza jego normy.
4. Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie rzędem elementu \(\displaystyle{ a}\) w grupe \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ ra=e}\), gdzie \(\displaystyle{ e}\) jest elementem neutralnym grupy \(\displaystyle{ A}\). Z warunków zadania wynika, że liczby \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze, więc istnieją takie liczby całkowite \(\displaystyle{ p,q}\), że \(\displaystyle{ pn+qr=1}\). Stąd \(\displaystyle{ a=(pn+qr)a=n(pa)+q(ra)=n(pa)+qe=n(pa)}\).
Rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ nx=a}\) jest zatem \(\displaystyle{ x=pa\in A}\).
5. Konstrukcja ta możliwa jest dla kostek trójściennych: \(\displaystyle{ T_A=\{3,5,7\}, T_B=\{2,4,9\}, T_C=\{1,6,8\}}\).
Aby otrzymać sześcienne wystarczy te zbiory trochę 'rozdmuchać': \(\displaystyle{ U_A=\{5,6,9,10,13,14\}, U_B=\{3,4,7,8,17,18\}, U_C=\{1,2,11,12,15,16\}}\).
Łatwo policzymy, że wszystkie prawdopodobieństwa z zadania są równe \(\displaystyle{ \frac{5}{9}>\frac{1}{2}}\).