Co do trzeciego to można by tak:
wszystko w ciele modulo
\(\displaystyle{ p}\) wykonać, a więc:
\(\displaystyle{ a^2+2a+2=0 \mod p}\)
\(\displaystyle{ p>5, a \neq 1}\)
po rozwiązaniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ a=- \sqrt{-1}-1 \vee a= \sqrt{-1}-1}\)
Zakładam też zgodnie z zadaniem, że
\(\displaystyle{ -1}\) jest resztą kwadratową bo równanie to musi mieć rozwiązanie...
I tu miałem dylemat, które rozwiązanie wybrać, ale to raczej nie ma znaczenia...
niech będzie, że:
\(\displaystyle{ a= \sqrt{-1}-1}\)
\(\displaystyle{ a^3=2 \sqrt{-1} +2}\)
podstawmy za
\(\displaystyle{ a}\) do równania, które podobno jest spełnione, czyli do:
\(\displaystyle{ a^3+4b+c=abc}\) oczywiście wszystko modulo:
mamy więc:
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{-1} +2+4b+c=bc\left( \sqrt{-1}-1 \right) }\)
Wyliczmy z tego równania
\(\displaystyle{ b}\) w ciele:
\(\displaystyle{ Z_{p}}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{2 \sqrt{-1}+c+2 }{c \sqrt{-1}-c-4 } }\)
pamiętając, że:
\(\displaystyle{ a=\sqrt{-1}-1}\)
Podstawmy te dwa ostatnie do:
\(\displaystyle{ a+2b+2=\sqrt{-1}-1+ \frac{4 \sqrt{-1}+2c+4 }{c \sqrt{-1}-c-4 }+2= \frac{\left( \sqrt{-1}+1 \right)\left( c \sqrt{-1}-c-4\right)+4 \sqrt{-1}+2c+4 }{c \sqrt{-1}-c-4} }\)
po wymnożeniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{-c-c \sqrt{-1}-4 \sqrt{-1}+c \sqrt{-1}-c-4+4 \sqrt{-1}+2c+4}{c \sqrt{-1}-c-4} = \frac{0}{c \sqrt{-1}-c-4} =0}\)
znaczy, że:
\(\displaystyle{ a+2b+2=0 \mod p}\)
Oczywiście nigdzie nie zakładałem , że nasz mianownik czyli:
\(\displaystyle{ m=c \sqrt{-1}-c-4=ca-4 }\) musi być różny od zera,
a musi !!! po to aby móc wykonać powyższe działania
Nasuwa mi się, że w tym zadaniu nie musi zachodzić:
\(\displaystyle{ a \ge c }\)
tylko wystarczy:
\(\displaystyle{ ac \neq 4 \mod p}\)
Ujemne też spełniają to zadanie, np:
\(\displaystyle{ a=3, b=-28, c=1}\)
\(\displaystyle{ b}\) powinny być też różne od zera...
Dodano po 28 minutach 22 sekundach:
Na potwierdzenie mojej ostatniej tezy, że:
nie musi zachodzić:
\(\displaystyle{ a \ge c}\) ale musi być:
\(\displaystyle{ ac \neq 4 \mod p}\) jest przykład:
\(\displaystyle{ a=1, p=5, b=6, c=5}\)
spełnione jest:
\(\displaystyle{ a^3+4b+c=abc , c>a}\)
ale:
\(\displaystyle{ 1+2 \cdot 6+2=15= 0 \mod 5 }\)
ale już ostatnia podzielność nie zachodzi dla układu:
\(\displaystyle{ a=1, p=5, b=2, c=9}\)
a tu nie może zachodzić bo tak jak pisałem:
\(\displaystyle{ ac=1 \cdot 9=9=4 \mod 5}\)
...........
Dodano po 3 minutach 26 sekundach:
Może ktoś był na herbatce olimpijskiej i mógłby napisać jakie są przewidywania?
Byłem na wódce poolimpijskiej co znacznie bardziej polecam...
Dodano po 18 minutach 55 sekundach:
Ja niestety miałam wczoraj studniówkę, więc nie mogłam pójść
Toś się nawaliła jak Szpak po koncercie...
Dodano po 1 minucie 17 sekundach:
Pozdrawiam serdecznie!
Ja Ciebie też...!!!