LXXIII OM

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

LXXIII OM

Post autor: Jan Kraszewski »

Pojawiły się zadania zadania pierwsze tury pierwszego etapu 73. Olimpiady Matematycznej:

Kod: Zaznacz cały

https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main/other/plakat_OM_2021.pdf
Pragnę przypomnieć o zasadach panujących w tego rodzaju tematach. Nie dyskutujemy o tym, kto zrobił ile zadań i o ich stopniu trudności do upłynięcia terminu wysyłania zadań. Przypominam, że poważne naruszenie tych zaleceń skutkować będzie banem.

Życzę wszystkim powodzenia!

JK
slifjo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 3 sty 2022, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
wiek: 17

Re: LXXIII OM

Post autor: slifjo »

Jak Pan myśli, ile będzie wymaganych zadań?
Blazo2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 50
Rejestracja: 31 gru 2017, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bochnia
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: Blazo2000 »

Wrzućcie zadania z pierwszego dnia. 8-)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: Jan Kraszewski »

Poczekaj, jeszcze nie skończyli. W tym roku piszą 10-15.

JK
Blazo2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 50
Rejestracja: 31 gru 2017, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bochnia
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: Blazo2000 »

Aaa faktycznie, nie wiedziałem, w takim razie przepraszam za falstart.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: Premislav »

Zadania z pierwszego dnia są na Facebooku, oto treści:

\(\displaystyle{ \textbf{1.}}\) Znaleźć wszystkie czwórki liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) spełniające układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}ab+cd=6\\ac+bd=3\\ad+bc=2\\a+b+c+d=6 \end{cases}}\).

\(\displaystyle{ \textbf{2.}}\) Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg. Środek tego okręgu leży wewnątrz czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\). Przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są środkami odpowiednio boków \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ AC}\) i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ q}\) prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ BD}\) i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ Q}\), zaś
\(\displaystyle{ s}\) prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ CD}\) i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ S}\). Dowieść, że proste \(\displaystyle{ p, \ q, \ s}\) przecinają się w jednym punkcie.

\(\displaystyle{ \textbf{3.}}\) Dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) spełniają równośc \(\displaystyle{ a^3+4b+c=abc}\), przy czym \(\displaystyle{ a\ge c}\) oraz liczba \(\displaystyle{ p=a^2+2a+2}\) jest pierwsza. Wykazać, że \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ a+2b+2}\).

1.:    
MaturalnaWera
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 13 lut 2022, o 16:27
Płeć: Kobieta
wiek: 18

Re: LXXIII OM

Post autor: MaturalnaWera »

Cześć!

Co myślicie o zadaniach z etapu okręgowego? Jaki próg szacujecie?
Może ktoś był na herbatce olimpijskiej i mógłby napisać jakie są przewidywania?

Ja niestety miałam wczoraj studniówkę, więc nie mogłam pójść :(

Pozdrawiam serdecznie!
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: arek1357 »

Co do trzeciego to można by tak:

wszystko w ciele modulo \(\displaystyle{ p}\) wykonać, a więc:

\(\displaystyle{ a^2+2a+2=0 \mod p}\)

\(\displaystyle{ p>5, a \neq 1}\)

po rozwiązaniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ a=- \sqrt{-1}-1 \vee a= \sqrt{-1}-1}\)

Zakładam też zgodnie z zadaniem, że \(\displaystyle{ -1}\) jest resztą kwadratową bo równanie to musi mieć rozwiązanie...

I tu miałem dylemat, które rozwiązanie wybrać, ale to raczej nie ma znaczenia...

niech będzie, że:

\(\displaystyle{ a= \sqrt{-1}-1}\)

\(\displaystyle{ a^3=2 \sqrt{-1} +2}\)

podstawmy za \(\displaystyle{ a}\) do równania, które podobno jest spełnione, czyli do:

\(\displaystyle{ a^3+4b+c=abc}\) oczywiście wszystko modulo:

mamy więc:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{-1} +2+4b+c=bc\left( \sqrt{-1}-1 \right) }\)

Wyliczmy z tego równania \(\displaystyle{ b}\) w ciele: \(\displaystyle{ Z_{p}}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{2 \sqrt{-1}+c+2 }{c \sqrt{-1}-c-4 } }\)

pamiętając, że: \(\displaystyle{ a=\sqrt{-1}-1}\)

Podstawmy te dwa ostatnie do:

\(\displaystyle{ a+2b+2=\sqrt{-1}-1+ \frac{4 \sqrt{-1}+2c+4 }{c \sqrt{-1}-c-4 }+2= \frac{\left( \sqrt{-1}+1 \right)\left( c \sqrt{-1}-c-4\right)+4 \sqrt{-1}+2c+4 }{c \sqrt{-1}-c-4} }\)

po wymnożeniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{-c-c \sqrt{-1}-4 \sqrt{-1}+c \sqrt{-1}-c-4+4 \sqrt{-1}+2c+4}{c \sqrt{-1}-c-4} = \frac{0}{c \sqrt{-1}-c-4} =0}\)

znaczy, że:

\(\displaystyle{ a+2b+2=0 \mod p}\)

Oczywiście nigdzie nie zakładałem , że nasz mianownik czyli:

\(\displaystyle{ m=c \sqrt{-1}-c-4=ca-4 }\) musi być różny od zera, a musi !!! po to aby móc wykonać powyższe działania


Nasuwa mi się, że w tym zadaniu nie musi zachodzić:

\(\displaystyle{ a \ge c }\)

tylko wystarczy:

\(\displaystyle{ ac \neq 4 \mod p}\)

Ujemne też spełniają to zadanie, np:

\(\displaystyle{ a=3, b=-28, c=1}\)

\(\displaystyle{ b}\) powinny być też różne od zera...

Dodano po 28 minutach 22 sekundach:
Na potwierdzenie mojej ostatniej tezy, że:

nie musi zachodzić:

\(\displaystyle{ a \ge c}\) ale musi być:

\(\displaystyle{ ac \neq 4 \mod p}\) jest przykład:


\(\displaystyle{ a=1, p=5, b=6, c=5}\)

spełnione jest:

\(\displaystyle{ a^3+4b+c=abc , c>a}\)

ale:

\(\displaystyle{ 1+2 \cdot 6+2=15= 0 \mod 5 }\)

ale już ostatnia podzielność nie zachodzi dla układu:

\(\displaystyle{ a=1, p=5, b=2, c=9}\)

a tu nie może zachodzić bo tak jak pisałem:

\(\displaystyle{ ac=1 \cdot 9=9=4 \mod 5}\)

...........

Dodano po 3 minutach 26 sekundach:
Może ktoś był na herbatce olimpijskiej i mógłby napisać jakie są przewidywania?
Byłem na wódce poolimpijskiej co znacznie bardziej polecam...

Dodano po 18 minutach 55 sekundach:
Ja niestety miałam wczoraj studniówkę, więc nie mogłam pójść
Toś się nawaliła jak Szpak po koncercie...

Dodano po 1 minucie 17 sekundach:
Pozdrawiam serdecznie!
Ja Ciebie też...!!!
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: a4karo »

Intrygująco brzmi mówienie o nierównościach w `\ZZ_p`
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: arek1357 »

Gdzie to widzisz? bo ja jeszcze nie zauważyłem

Dodano po 25 sekundach:
Ale zdaję się na twój sokoli wzrok

[ciach]
Ostatnio zmieniony 13 lut 2022, o 22:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: To jest temat o OM. Jak chcesz pogawędzić z a4karo, to użyj PW.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: Premislav »

No dobra, to ja spróbuję, jeśli się nie pomyliłem, to zadanie jest darmowe, co mnie trochę dziwi (nie próbowałem go wcześniej robić w tak siłowy sposób i może dlatego błądziłem jak dziecko we mgle).
3.:    
de_michael
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 30 lip 2021, o 15:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 16

Re: LXXIII OM

Post autor: de_michael »

MaturalnaWera pisze: 13 lut 2022, o 16:37 Może ktoś był na herbatce olimpijskiej i mógłby napisać jakie są przewidywania?
Ja na chwilę zajrzałem na to spotkanie i na podstawie wyników deklarowanych przez uczniów przewodniczący powiedział, że 3 zadania może wystarczą. Ale wciąż takie przewidywania mogą nie być trafne, bo na herbatce nie było jakoś dużo osób.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: arek1357 »

Premislav czy ty nie zauważyłeś, że c może być większe od a, a rozwiązania mogą być ujemne???
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: Jan Kraszewski »

arek1357 pisze: 14 lut 2022, o 11:42 Premislav czy ty nie zauważyłeś, że c może być większe od a,
Może?
Premislav pisze: 12 lut 2022, o 11:05\(\displaystyle{ \textbf{3.}}\) Dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) spełniają równośc \(\displaystyle{ a^3+4b+c=abc}\), przy czym \(\displaystyle{ \red{a\ge c}}\) oraz liczba \(\displaystyle{ p=a^2+2a+2}\) jest pierwsza. Wykazać, że \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ a+2b+2}\).
JK
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: LXXIII OM

Post autor: arek1357 »

Zgoda, że jest taka dziedzina ale można ją rozszerzyć co zwiększa horyzonty tego zadania, a jak ktoś lubi się trzymać wytycznych to też dobrze,
ja jednak nie będę...
ODPOWIEDZ