Cześć!
Potrzebuję pomocy przy rozwiązaniu poniższej nierówności: \(\displaystyle{ \frac{2a+1}{b+c+1} + \frac{2b+1}{c+a+1} + \frac{2c+1}{a=b=1} \ge 3 }\),
gdzie liczby a,b,c są dodatnie.
Ja rozwiązując tę nierówność podstawiłem sobie w ten sposób: \(\displaystyle{ b+c+1 = x }\) \(\displaystyle{ a+c+1 = y }\) \(\displaystyle{ b+a+1 = z }\)
Co doprowadziło mnie do takiej nierówności: \(\displaystyle{ \frac{y+z-x}{x} + \frac{x+z-y}{y} + \frac{x+y-z}{z} \ge 3 }\)
W rozwiązaniach zadań jest napisane, że ostatnia równość "jest prawdziwa dla dodatnich \(\displaystyle{ x, y}\) i \(\displaystyle{ z }\) na podstawie zależności między średnią arytmetyczną a geometryczną, co kończy rozwiązanie zadania"
Czy ktoś potrafiłby mi dokładnie wyjaśnić, gdzie jest ta zależność? Niestety rozwiązuję już któryś raz i wciąż nie mogę tego wyraźnie dostrzec.
Z góry dziękuję za odpowiedź
Powyższe zadanie to zadanie nr. 19 z książeczki "Nierówności dla początkujących olimpijczyków"
pdf:
Najpierw rozpiszmy trochę te ułamki: \(\displaystyle{ \frac{y+z-x}{x}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1}\) i dwa dalsze podobnie. Mamy więc: \(\displaystyle{ \frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\ge 3\\\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\ge 6\\\frac{\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}}{6}\ge 1}\)
a to już jest wprost nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb \(\displaystyle{ \frac{y}{x}, \ \frac{z}{x}, \ \frac{x}{y}, \ \frac{z}{y}, \ \frac{x}{z}, \ \frac{y}{z}}\).
