Ponieważ \(\displaystyle{ a,c>1}\) i \(\displaystyle{ b,d<1}\), więc mamy co następuje: \(\displaystyle{ ab+1<a+b\\bc+1<b+c\\cd+1<c+d\\da+1<d+a}\)
(to się przekształca do postaci \(\displaystyle{ 0<(a-1)(1-b)}\) etc.)
i stąd dostajemy \(\displaystyle{ \frac{a}{ab+c+1}+\frac{b}{bc+d+1}+\frac{c}{cd+a+1}+\frac{d}{da+b+1}\\>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{a+b+d}\\>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{b+c+d+a}+\frac{c}{c+d+a+b}+\frac{d}{a+b+d+c}=1}\)
c.n.d.
Nad innymi się nie zastanawiałem, bo mi się nie chciało, ale jestem głupi, więc pewnie i tak bym nie wymyślił.