Mam takie pytanie odnośnie zadania5. z 2. etapu tegorocznego OMa.
Treść znajduje się tutaj:
Kod: Zaznacz cały
https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main/problems/om71_2.pdf
I brzmi:
Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p > 2}\). Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ p + 1}\) liczb całkowitych. Wykazać, że istnieją parami różne liczby \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2}, . . . , a _{p-1}}\), należące do zbioru \(\displaystyle{ S}\), dla których liczba
\(\displaystyle{ a_{1} + 2 \cdot a2 + 3 \cdot a_{3} + . . . + (p − 1) \cdot a_{p−1} }\)
jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).
Moje pytanie odnośnie tego zadania brzmi:
Czy ono na pewno jest poprawnie sformułowane? Bo przecież (według mnie przynajmniej, więc mogę się mylić) elementy zbioru \(\displaystyle{ S}\) nie muszą być wszystkie parami różne. W szczególnym przypadku nawet nie można wybrać więc \(\displaystyle{ p-1}\) parami różnych liczb, a co dopiero spełniających jeszcze do tego jakiś warunek. Dla przykładu liczba \(\displaystyle{ p=3}\) i zbiór \(\displaystyle{ \{1,1,1,2\}}\) nie spełnia warunków zadania.
Z góry dzięki za odpowiedzi.