Matematyka.pl

Załóżmy, że \(\displaystyle{ a \le b \le c}\). Wówczas, \(\displaystyle{ a+b \le a+c \le b+c}\), czyli \(\displaystyle{ b+c=a+c+1=a+b+2}\), z czego wynika, że
\(\displaystyle{ c=b+1=a+2}\). Pozostaje więc udowodnić tylko całkowitość jednej z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\), co możemy uczynić, korzystając z nieparzystości liczby \(\displaystyle{ a+b}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a+b=2a+1}\), zatem \(\displaystyle{ a=\frac{b+a-1}{2}}\), co kończy dowód.

Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie punktem przecięcia prostej \(\displaystyle{ XE}\) z prostą \(\displaystyle{ AB}\).Wówczas, ponieważ
\(\displaystyle{ DE}\)=\(\displaystyle{ BE}\), \(\displaystyle{ OE}\)=\(\displaystyle{ XE}\) i kąty \(\displaystyle{ DEX}\) oraz \(\displaystyle{ BOE}\) są wierzchołkowe,
zatem, na mocy cechy BKB, trójkąty \(\displaystyle{ OEB}\) i \(\displaystyle{ DEX}\) są przystające, z czego wynika, że \(\displaystyle{ XD}\)=\(\displaystyle{ BO}\).
Wybierzmy na odcinku \(\displaystyle{ AB}\) taki punkt \(\displaystyle{ K}\), że \(\displaystyle{ AK}\)=\(\displaystyle{ XD}\). Wówczas czworokąt \(\displaystyle{ AKXD}\)
jest równoległobokiem, czyli \(\displaystyle{ AD=KX}\). Niech punkt \(\displaystyle{ L}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Ponieważ
\(\displaystyle{ KL=LO=0.5AB-XD}\) i kąt \(\displaystyle{ XLO}\) jest prosty, więc \(\displaystyle{ AD=XO}\) , czyli \(\displaystyle{ AD=2XE}\). Co kończy dowód.

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą chłopców biorących udział w turnieju.
Załóżmy nie wprost, że każdy chłopak pokonał każdą dziewczynę, z którą grał. Wówczas, ponieważ każdy z nich przegrał przynajmniej raz, zatem przegrał z przynajmniej jednym chłopakiem. Nie mógł też przegrać więcej niż \(\displaystyle{ n-1}\) razy (bo inaczej musiałby przegrać z jakąś dziewczyną).Wiadomo, że liczba przegranych meczów każdego z nich jest różna, a ponieważ liczb tych jest \(\displaystyle{ n}\) oraz żadna z nich nie może być większa niż \(\displaystyle{ n-1}\) i mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\), zatem, na mocy zasady szufladkowej Dirichleta, dostajemy sprzeczność. Co kończy dowód.

Ponieważ kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) jest rozwarty , zatem na odcinku \(\displaystyle{ AB}\) można dorysować taki punkt \(\displaystyle{ K}\), że kąt \(\displaystyle{ ACK}\) jest prosty. Wówczas, ponieważ miara kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) wynosi \(\displaystyle{ 45}\), zatem \(\displaystyle{ AK=\sqrt{2}AC}\). Czyli nierówność z zadania jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ BC-AC<BK}\). Na odcinku \(\displaystyle{ BC}\) wybierzmy punkt \(\displaystyle{ C'}\) taki, że \(\displaystyle{ CC'=AC}\). Przez \(\displaystyle{ \alpha }\) oznaczmy miarę kąta \(\displaystyle{ TCC'}\). Wiemy, że pozostaje nam wykazać jedynie, iż \(\displaystyle{ BC'>BK}\), co jest równoznaczne z tym, że kąt zewnętrzny przy wierzchołku \(\displaystyle{ K}\) ma miarę większą niż kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C'}\) (ponieważ kąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest ostry). Ponieważ \(\displaystyle{ CC’=KC}\), zatem kąty \(\displaystyle{ KC’C}\) i \(\displaystyle{ C’KC}\) są równe,zatem kąt zewnętrzny przy wierzchołku \(\displaystyle{ K}\) ma miarę \(\displaystyle{ 135- \frac{ \alpha}{2}}\), zaś ten wewnętrzny przy wierzchołku \(\displaystyle{ C'}\) ma miarę \(\displaystyle{ 90+\frac{ \alpha }{2}}\). Łącząc te wnioski z faktem, iż \(\displaystyle{ \alpha <45}\), otrzymujemy tezę.

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ a \neq b}\)
Wiemy (dowód tej równości jest dostępny pod adresem NWD(a,b)=NWD(a-b,b)), że \(\displaystyle{ NWD(x,y)=NWD(x,x-y)}\), dla dowolnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ x,y}\). Wynika z tego, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi: \(\displaystyle{ 1 \neq NWD(a+n,b+n)=NWD(a-b,b+n)}\). Ponieważ wśród wszystkich liczb naturalnych większych od b musi wystąpić jakaś względnie pierwsza do \(\displaystyle{ a-b}\), otrzymujemy sprzeczność. Co było do udowodnienia.