LXXI OM

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
albanczyk123456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdzieś
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 8 razy

LXXI OM

Post autor: albanczyk123456 » 3 wrz 2019, o 17:34

Pojawiły się zadania z pierwszego etapu Olimpiady Matematycznej https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main ... om71_1.pdf . Przypominam, o nie komentowaniu zadań z trwających serii.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1826
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 255 razy

Re: LXXI

Post autor: matmatmm » 1 paź 2019, o 12:14

1:    

Awatar użytkownika
Tani Mefedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 kwie 2018, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Re: LXXI OM

Post autor: Tani Mefedron » 1 paź 2019, o 15:38

Można też prościej.
Ukryta treść:    

PokEmil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 20 razy

Re: LXXI OM

Post autor: PokEmil » 1 paź 2019, o 16:28

Matmatmm, a czy przypadkiem dla \(\displaystyle{ n=2}\) liczba możliwych wartości nie wynosi \(\displaystyle{ 3>2\sqrt2}\)?

Edit.: już rozumiem, zapomniałem o pierwszych linijkach, w których wartość \(\displaystyle{ 0}\) została już policzona.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14509
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 4780 razy

Re: LXXI OM

Post autor: Premislav » 2 paź 2019, o 16:09

2.:    

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2710
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 651 razy

Re: LXXI OM

Post autor: Sylwek » 7 paź 2019, o 01:07

1.:    
2.:    
3.:    
4.:    

Awatar użytkownika
Tani Mefedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 kwie 2018, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Re: LXXI OM

Post autor: Tani Mefedron » 31 paź 2019, o 13:20

I jak druga seria panowie?

Dodano po 6 godzinach 34 minutach 26 sekundach:
to ja może napiszę swoje szóste, pisałem już na zadansach:
W zbiorze \(\displaystyle{ {1, 2, ... , n^{2}}}\) nietrudno policzyć że mamy nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{n^{4}}{3}}\) nieuporządkowanych czwórek elementów tworzących ciąg arytmetyczny. Możemy na \(\displaystyle{ n!}\) sposobów dobrać \(\displaystyle{ n}\) pól w sposób podany w zadaniu. Jeżeli wbrew tezie każdy z nich zawiera jakąś czwórkę elementów tworzących ciąg arytmetyczny to z zasady szufladkowej jakaś czwórka elementów będąca ciągiem arytmetycznym występuje w co najmniej \(\displaystyle{ \frac{n!}{\frac{n^{4}}{3}}}\) sposobach. Z drugiej strony każda czwórka elementów tworząca ciąg arytmetyczny już "zarezerwowała" 4 kolumny i 4 wiersze więc istnieje \(\displaystyle{ (n-4)!}\) sposobów dobrania \(\displaystyle{ n}\) pól by zawierały tą konkretną czwórkę. Stąd mamy nierówność \(\displaystyle{ \frac{n!}{\frac{n^{4}}{3}} \le (n-4)!}\) A dla \(\displaystyle{ n \ge 2019}\) ta nierówność jest nieprawdziwa, skąd teza.

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: LXXI OM

Post autor: WolfusA » 2 lis 2019, o 18:42

8:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14509
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 4780 razy

Re: LXXI OM

Post autor: Premislav » 4 lis 2019, o 01:45

Bardzo zgrabne, nie wpadłem na to. Ósme można też załatwić tak:
8.:    
Dodam, że nie jest to mój autorski pomysł, jedynym moim pomysłem w tym zadaniu było szacowanie każdego ułamka z osobna przez funkcję liniową od \(\displaystyle{ a,b,c}\), tak aby po dodaniu było dobrze (pomaga w tym zauważenie, że równość jest dla \(\displaystyle{ a=b=c=1}\)), ale nie chciało mi się tego młócić. :cry: Sylwek na Zadansach pokazał, jak można sfinalizować taką drogę.

patrykzubilewicz1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 lis 2018, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pila
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Re: LXXI OM

Post autor: patrykzubilewicz1 » 4 lis 2019, o 15:29

Też ciekawy pomysł na 8:
Ukryta treść:    

Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo śląskie
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 7 razy

Re: LXXI OM

Post autor: Thingoln » 26 lis 2019, o 19:21

Premislav pisze:
4 lis 2019, o 01:45
[...] odnotujmy, że z AM-GM mamy co następuje:
\(\displaystyle{ 2a^{2}+2a^{3}+2a^{4}\ge 6a^{3}\\2b^{2}+2b^{3}+2b^{4}+3\ge 9b^{2}\\2c^{2}+2c^{3}+2c^{4}+12\ge 18c}\)
Pierwszą z nierówności rozumiem, ale zastanawiam się nad pozostałymi dwiema. Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś je rozpisał trochę jaśniej (chociaż pewnie dla większości są już oczywiste :)).

Dodano po 1 godzinie 15 minutach 32 sekundach:
Udało mi się jednak udowodnić te nierówności, ale zostawię rozwiązanie dla przyszłych ciekawych :)
\(\displaystyle{ 2a^2+2a^3+2a^4+3 = 2 \cdot \frac{2a^2+2a^4}{2} + 2a^3 + 3 \ge 2 \sqrt{2a^2 \cdot 2a^4} + 2a^3+3 =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \cdot 2a^3 + 2a^3+3 = 6a^3+3 = 3 \cdot \frac{3a^3+3a^3+3}{3} \ge 3 \sqrt[3]{3a^3 \cdot 3a^3 \cdot 3} = 3 \cdot 3a^2 = 9a^2}\)

\(\displaystyle{ 2a^2+2a^3+2a^4+12 = 2 \cdot \frac{2a^2+2a^4}{2} + 2a^3 + 12 \ge 2 \sqrt{2a^2 \cdot 2a^4} + 2a^3 + 12 =}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2a^3 + 2a^3 + 12 = 6a^3 + 18 = 2 \cdot (3a^3 + 6) = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3a^3 + 3 + 3}{3} \ge 6 \sqrt[3]{3a^3 \cdot 3 \cdot 3} = 6 \cdot 3a = 18a}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14509
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 4780 razy

Re: LXXI OM

Post autor: Premislav » 3 gru 2019, o 04:17

Nie wierzę w pięciogodzinne kolejki na poczcie, ale nie wierzę też w to, że o tej porze nie walę jakiejś ściemy w jedenastym, więc:
9.:    

Awatar użytkownika
Tani Mefedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 kwie 2018, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Re: LXXI OM

Post autor: Tani Mefedron » 3 gru 2019, o 11:28

To ja wrzucę 11:
Weźmy sobie jakąś osobę \(\displaystyle{ A}\), skoro zna ona co najwyżej \(\displaystyle{ 2k}\) osób to nie zna co najmniej \(\displaystyle{ n-1-2k}\) osób. Każdy nieznajomy osoby \(\displaystyle{ A}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ k}\) znajomych wśród znajomych osoby \(\displaystyle{ A}\), mamy więc co najmniej \(\displaystyle{ (n-1-2k)k}\) znajomości między znajomymi i nieznajomymi osoby \(\displaystyle{ A}\). Każda z tych znajomości jest przypisana jakiemuś znajomemu osoby \(\displaystyle{ A}\) których jest co najwyżej \(\displaystyle{ 2k}\) więc z zasady szufladkowej jakiś znajomy A ma co najmniej \(\displaystyle{ \frac{(n-1-2k)k}{2k}}\) znajomych wśród nieznajomych A i do tego zna jeszcze osobę A więc zna co najmniej \(\displaystyle{ \frac{(n-1-2k)k}{2k}+1}\) osób, a z nierówności \(\displaystyle{ \frac{(n-1-2k)k}{2k}+1 \ge 2k}\) po przekształceniu dostajemy tezę

chemik11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 27 gru 2017, o 19:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Re: LXXI OM

Post autor: chemik11 » 1 lut 2020, o 14:04

Olimpiada już za 6 dni.
Czego się spodziewacie na tegorocznym drugim etapie?

Awatar użytkownika
Tani Mefedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 kwie 2018, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Re: LXXI OM

Post autor: Tani Mefedron » 3 lut 2020, o 09:15

Miło widzieć że jest na tym forum jeszcze ktoś oprócz mnie. Osobiście spodziewam się ciekawych zadań biorąc pod uwagę to jakie beznadziejne były rok temu, szczególnie pierwszego dnia.

ODPOWIEDZ