Wow, nie sądziłem że będą takie wysokie progi przy tak dużej ilości uczestników! To dobrze świadczy, czekam na zadania z zawodów finałowych i życzę wszystkim powodzenia.
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ N}\) środek ramienia \(\displaystyle{ BC}\), a przez \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) - punkty przecięcia odcinka \(\displaystyle{ MN}\) odpowiednio z przekątnymi \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\). Z równości \(\displaystyle{ KM = \frac{1}{2}CD = LN}\), \(\displaystyle{ CK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BC = BN}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle BNL = 180^{\circ} - \sphericalangle CNK = 180^{\circ} - \sphericalangle CKN = \sphericalangle MKC}\) wynika, że trójkąty \(\displaystyle{ BLN}\) oraz \(\displaystyle{ CMK}\) są przystające (cecha bok-kąt-bok). Stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle ACM = \sphericalangle KCM = \sphericalangle NBL = \sphericalangle CBD}\), co kończy rozwiązanie zadania.
Ja nie napisałem tak jakbym tego oczekiwał, 2. można zrobić odkładając odcinek \(\displaystyle{ CD}\) na prostej \(\displaystyle{ AB}\) lub na prostej \(\displaystyle{ CD}\) (tak by powstały trapezy równoramienne). Dwa zbliżone rozwiązania, korzystamy z równoległości i ewentualnie z równości kątów wpisanych opartych na tym samym łuku.
Mnie też się zadanka podobały (choć może dlatego, że poszły lepiej niż na II ), ale wydaje mi się, że 1 troche za łatwe jak na finał. Ile macie pkt? I kto jedzie na obóz?
Pojawiły się rozwiązania firmowe.
Firmowe rozwiązanie pierwszego jest strasznie skomplikowane i mocno rachunkowe. Moje jest takie:
Skoro \(\displaystyle{ \frac ab}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a-1}{b-1}}\) różnią się o liczbę całkowitą (dokładniej: o 1), to zapisane w postaci ułamka nieskracalnego mają ten sam mianownik. Ale ten mianownik dzieli jednocześnie dwie liczby względnie pierwsze (\(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ b-1}\)), więc jest równy 1. QED
1. prawie zawsze jest takie łatwe i tak powinno być. To bardzo motywujące kiedy masz już pierwsze zadanie po paru minutach i możesz zabierać się za następne