XIV OMJ

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
Knaf156
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 19 cze 2018, o 14:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo dolnośląskie
Podziękował: 8 razy

Re: XIV OMJ

Post autor: Knaf156 »

mrowkaz,
Sam jestem ciekaw, jakiego narzędzia można by użyć do rozwiązania tego zadania, bo to było jedyne zadanie, na które nie miałem jakiegoś konkretnego pomysłu.
Biel124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

XIV OMJ

Post autor: Biel124 »

Tak

-- 16 paź 2018, o 12:21 --

Szkic dowodu:
Numerujemy wiersze i kolumny szachownicy, oznaczamy przez \(\displaystyle{ S(P)}\) sumę współrzędnych pola \(\displaystyle{ P}\). Zauważamy że dla każdego pola czarnego liczba \(\displaystyle{ S(P)}\) jest parzysta, a dla każdego białego nieparzysta. Oznaczamy przez \(\displaystyle{ n}\) sumę współrzędnych wszystkich wybranych pól z jednej strony \(\displaystyle{ n=(1+2+...+14) \cdot 2}\), z drugiej \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, bo mamy \(\displaystyle{ 7}\) pół białych.
Ostatnio zmieniony 16 paź 2018, o 13:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nieregulaminowa nazwa tematu.
mrowkaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 16 paź 2018, o 09:36
Płeć: Kobieta

Re: XIV OMJ

Post autor: mrowkaz »

Biel124, dziękuję, wszystko jasne, jakie to ładne i proste
robalbrowal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 16 mar 2017, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grzebień
Pomógł: 1 raz

Re: XIV OMJ

Post autor: robalbrowal »

Moje 6:
Ukryta treść:    
Generalnie to zadania chyba troszkę za proste (wg mnie 1 i 2 zbyt proste), ale jednak fakt taki, że wdrożyć podstawówki trzeba, ciekaw jestem jak zadania będą się przedstawiały na kolejnych etapach (zakładając, że przejdę), ale myślę, że jednak poziom należy trzymać, oby to się udało. Nie chciałbym, żeby ta Olimpiada umarła lub znacząco straciła na prestiżu. Nie wiem jak to się potoczy, ta i kolejna (zakładając, że będzie) edycje pokażą, jak przyszłość się rysuje (nie chcę być złowróżbnym, ale pewna obawa się we mnie budzi, gdy patrzę, że na zeszłorocznym trzecim etapie były łącznie 2 osoby z klasy niższej niż 8 (tj. z 7 i 6, kiedyś z 1gim było znacznie więcej). Życzę jak najlepiej, nie wiem co inni sądzą, może jestem trochę zbyt pesymistyczny.
niepozorny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 14 paź 2018, o 18:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

XIV OMJ

Post autor: niepozorny »

Zadanie 5.:    
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: XIV OMJ

Post autor: karolex123 »

5, syntetycznie:    
Knaf156
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 19 cze 2018, o 14:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo dolnośląskie
Podziękował: 8 razy

Re: XIV OMJ

Post autor: Knaf156 »

Zadanie 4, szkic:    
Knaf156
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 19 cze 2018, o 14:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo dolnośląskie
Podziękował: 8 razy

Re: XIV OMJ

Post autor: Knaf156 »

Pojawiły się wzorcówki:

Kod: Zaznacz cały

https://www.omj.edu.pl/uploads/attachments/1etap18r.pdf
niepozorny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 14 paź 2018, o 18:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: XIV OMJ

Post autor: niepozorny »

1. Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) spełniają nierówność \(\displaystyle{ x^2+x \leqslant y}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ y^2+y \geqslant x}\).

2. Dany jest trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\), w którym \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC = 90^{\circ}}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAD}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \sphericalangle APD = 45^{\circ}}\), to pole czworokąta \(\displaystyle{ APCD}\) jest równe polu trójkąta \(\displaystyle{ ABP}\).

3. Dany jest 101-kąt foremny. Prosta \(\displaystyle{ l}\) leży w płaszczyźnie tego wielokąta i nie przechodzi przez żaden z jego wierzchołków. Udowodnij, że prosta \(\displaystyle{ l}\) przecina parzystą liczbę przekątnych danego wielokąta.

4. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ AB = 3 \cdot BC}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą na boku \(\displaystyle{ AB}\) i spełniają warunek \(\displaystyle{ AP=PQ=QB}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AC}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \sphericalangle PMQ = 90^{\circ}}\).

5. W zapisie dziesiętnym pewnej dodatniej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\) nie występuje żadna z cyfr \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 9}\). Udowodnij, że w zapisie dziesiętnym liczby \(\displaystyle{ 3n}\) występuje co najmniej jedna z cyfr \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 9}\).
Samboor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 15 wrz 2018, o 18:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Re: XIV OMJ

Post autor: Samboor »

1, 4 i 5 były łatwe. W 2 jednej pobocznej rzeczy nie udowodniłem. Ma ktoś pomysł na 3? Jak wam poszło i jakiego progu się spodziewacie?
Biel124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

XIV OMJ

Post autor: Biel124 »

3 zrobiłem, ale nie zdążyłem zapisać:( Oznaczmy przez i liczbę wierzchołków wielokąta po jednej stronie, wtedy 101 - i to po drugiej stronie prostej l. Zastanów się dlaczego liczba przekątnych przecinających prosta l to i(101-i)-- 12 sty 2019, o 18:14 --2.
Jeśli trapez ten to rownoleglobok, to trywialne. Jeśli nie, to niech \(\displaystyle{ AB>CD}\) Wtedy ramiona trapezu przecinają się w punkcie X. Z liczenia kątów wynika, że trójkąt DXP jest równoramienny. Niech M będzie rzutem prostokątnym punktu P na prostą AD. Łatwo że trójkąt DPC przystaje do PMC. I łatwo pokazać, że te dwa trójkąty o wspólnym polu równym polu czworokąta tworzą trójkąt przystający do ABP.
iamspeedcubing
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 1 maja 2018, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: XIV OMJ

Post autor: iamspeedcubing »

Jak zrobiliście 2,3 i 4?
Biel124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Re: XIV OMJ

Post autor: Biel124 »

W czwartym należy narysować środek boku pewnego trójkąta, zauważyć, że to również środek boku drugiego trójkąta
mrowkaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 16 paź 2018, o 09:36
Płeć: Kobieta

XIV OMJ

Post autor: mrowkaz »

5.
zauważ że
\(\displaystyle{ 3 \cdot 10 ^{m} \le n < 9 \cdot 10 ^{m}}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) to liczba cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\).
Z tego wynika, że
\(\displaystyle{ 9 \cdot 10 ^{m} \le 3n < 27 \cdot 10^{m}}\)
a z tego zapisu wynika, że pierwsza cyfra \(\displaystyle{ 3n}\) to \(\displaystyle{ 9, 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\).

3.
prosta \(\displaystyle{ l}\) albo w ogóle nie przecina \(\displaystyle{ 101}\)-kąta
albo przecina go, dzieląc \(\displaystyle{ 101}\)-kąt w ten sposób, że po jednej stronie jest parzysta, po drugiej stronie nieparzysta ilość wierzchołków. Z tego łatwo wynika, że przecina parzystą liczbę przekątnych.-- 17 sty 2019, o 16:23 --
Samboor pisze:Jak wam poszło i jakiego progu się spodziewacie?
3 zadania zrobione (1,3,4), 5-te rozgrzebane. Dla mnie rewelacja. Jednak widzę, że zadania były bardziej "do zrobienia" (łatwiejsze), niż z zeszłych lat. Dlatego myślę, że dla gimnazjum próg będzie dość wysoki. Liczę na niższy próg dla podstawówki
Ostatnio zmieniony 17 sty 2019, o 14:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Re: XIV OMJ

Post autor: bakala12 »

Jestem mocno za stary na te zadania, ale znalazłem chwilkę na przekminę. Nie widziałem żeby pojawiło się moje rozwiązania zadania drugiego, więc je wrzucam
Zadanie 2.:    
Ważna uwaga:    
ODPOWIEDZ