XIV OMJ
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 19 cze 2018, o 14:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: województwo dolnośląskie
- Podziękował: 8 razy
Re: XIV OMJ
mrowkaz,
Sam jestem ciekaw, jakiego narzędzia można by użyć do rozwiązania tego zadania, bo to było jedyne zadanie, na które nie miałem jakiegoś konkretnego pomysłu.
Sam jestem ciekaw, jakiego narzędzia można by użyć do rozwiązania tego zadania, bo to było jedyne zadanie, na które nie miałem jakiegoś konkretnego pomysłu.
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
XIV OMJ
Tak
-- 16 paź 2018, o 12:21 --
Szkic dowodu:
Numerujemy wiersze i kolumny szachownicy, oznaczamy przez \(\displaystyle{ S(P)}\) sumę współrzędnych pola \(\displaystyle{ P}\). Zauważamy że dla każdego pola czarnego liczba \(\displaystyle{ S(P)}\) jest parzysta, a dla każdego białego nieparzysta. Oznaczamy przez \(\displaystyle{ n}\) sumę współrzędnych wszystkich wybranych pól z jednej strony \(\displaystyle{ n=(1+2+...+14) \cdot 2}\), z drugiej \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, bo mamy \(\displaystyle{ 7}\) pół białych.
-- 16 paź 2018, o 12:21 --
Szkic dowodu:
Numerujemy wiersze i kolumny szachownicy, oznaczamy przez \(\displaystyle{ S(P)}\) sumę współrzędnych pola \(\displaystyle{ P}\). Zauważamy że dla każdego pola czarnego liczba \(\displaystyle{ S(P)}\) jest parzysta, a dla każdego białego nieparzysta. Oznaczamy przez \(\displaystyle{ n}\) sumę współrzędnych wszystkich wybranych pól z jednej strony \(\displaystyle{ n=(1+2+...+14) \cdot 2}\), z drugiej \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, bo mamy \(\displaystyle{ 7}\) pół białych.
Ostatnio zmieniony 16 paź 2018, o 13:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nieregulaminowa nazwa tematu.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nieregulaminowa nazwa tematu.
-
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 16 mar 2017, o 18:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Grzebień
- Pomógł: 1 raz
Re: XIV OMJ
Moje 6:
Generalnie to zadania chyba troszkę za proste (wg mnie 1 i 2 zbyt proste), ale jednak fakt taki, że wdrożyć podstawówki trzeba, ciekaw jestem jak zadania będą się przedstawiały na kolejnych etapach (zakładając, że przejdę), ale myślę, że jednak poziom należy trzymać, oby to się udało. Nie chciałbym, żeby ta Olimpiada umarła lub znacząco straciła na prestiżu. Nie wiem jak to się potoczy, ta i kolejna (zakładając, że będzie) edycje pokażą, jak przyszłość się rysuje (nie chcę być złowróżbnym, ale pewna obawa się we mnie budzi, gdy patrzę, że na zeszłorocznym trzecim etapie były łącznie 2 osoby z klasy niższej niż 8 (tj. z 7 i 6, kiedyś z 1gim było znacznie więcej). Życzę jak najlepiej, nie wiem co inni sądzą, może jestem trochę zbyt pesymistyczny.
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 14 paź 2018, o 18:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 19 cze 2018, o 14:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: województwo dolnośląskie
- Podziękował: 8 razy
Re: XIV OMJ
Pojawiły się wzorcówki:
Kod: Zaznacz cały
https://www.omj.edu.pl/uploads/attachments/1etap18r.pdf
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 14 paź 2018, o 18:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
Re: XIV OMJ
1. Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) spełniają nierówność \(\displaystyle{ x^2+x \leqslant y}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ y^2+y \geqslant x}\).
2. Dany jest trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\), w którym \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC = 90^{\circ}}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAD}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \sphericalangle APD = 45^{\circ}}\), to pole czworokąta \(\displaystyle{ APCD}\) jest równe polu trójkąta \(\displaystyle{ ABP}\).
3. Dany jest 101-kąt foremny. Prosta \(\displaystyle{ l}\) leży w płaszczyźnie tego wielokąta i nie przechodzi przez żaden z jego wierzchołków. Udowodnij, że prosta \(\displaystyle{ l}\) przecina parzystą liczbę przekątnych danego wielokąta.
4. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ AB = 3 \cdot BC}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą na boku \(\displaystyle{ AB}\) i spełniają warunek \(\displaystyle{ AP=PQ=QB}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AC}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \sphericalangle PMQ = 90^{\circ}}\).
5. W zapisie dziesiętnym pewnej dodatniej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\) nie występuje żadna z cyfr \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 9}\). Udowodnij, że w zapisie dziesiętnym liczby \(\displaystyle{ 3n}\) występuje co najmniej jedna z cyfr \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 9}\).
2. Dany jest trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\), w którym \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC = 90^{\circ}}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAD}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \sphericalangle APD = 45^{\circ}}\), to pole czworokąta \(\displaystyle{ APCD}\) jest równe polu trójkąta \(\displaystyle{ ABP}\).
3. Dany jest 101-kąt foremny. Prosta \(\displaystyle{ l}\) leży w płaszczyźnie tego wielokąta i nie przechodzi przez żaden z jego wierzchołków. Udowodnij, że prosta \(\displaystyle{ l}\) przecina parzystą liczbę przekątnych danego wielokąta.
4. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ AB = 3 \cdot BC}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą na boku \(\displaystyle{ AB}\) i spełniają warunek \(\displaystyle{ AP=PQ=QB}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AC}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \sphericalangle PMQ = 90^{\circ}}\).
5. W zapisie dziesiętnym pewnej dodatniej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\) nie występuje żadna z cyfr \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 9}\). Udowodnij, że w zapisie dziesiętnym liczby \(\displaystyle{ 3n}\) występuje co najmniej jedna z cyfr \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 9}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 15 wrz 2018, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
Re: XIV OMJ
1, 4 i 5 były łatwe. W 2 jednej pobocznej rzeczy nie udowodniłem. Ma ktoś pomysł na 3? Jak wam poszło i jakiego progu się spodziewacie?
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
XIV OMJ
3 zrobiłem, ale nie zdążyłem zapisać:( Oznaczmy przez i liczbę wierzchołków wielokąta po jednej stronie, wtedy 101 - i to po drugiej stronie prostej l. Zastanów się dlaczego liczba przekątnych przecinających prosta l to i(101-i)-- 12 sty 2019, o 18:14 --2.
Jeśli trapez ten to rownoleglobok, to trywialne. Jeśli nie, to niech \(\displaystyle{ AB>CD}\) Wtedy ramiona trapezu przecinają się w punkcie X. Z liczenia kątów wynika, że trójkąt DXP jest równoramienny. Niech M będzie rzutem prostokątnym punktu P na prostą AD. Łatwo że trójkąt DPC przystaje do PMC. I łatwo pokazać, że te dwa trójkąty o wspólnym polu równym polu czworokąta tworzą trójkąt przystający do ABP.
Jeśli trapez ten to rownoleglobok, to trywialne. Jeśli nie, to niech \(\displaystyle{ AB>CD}\) Wtedy ramiona trapezu przecinają się w punkcie X. Z liczenia kątów wynika, że trójkąt DXP jest równoramienny. Niech M będzie rzutem prostokątnym punktu P na prostą AD. Łatwo że trójkąt DPC przystaje do PMC. I łatwo pokazać, że te dwa trójkąty o wspólnym polu równym polu czworokąta tworzą trójkąt przystający do ABP.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 1 maja 2018, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
-
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Re: XIV OMJ
W czwartym należy narysować środek boku pewnego trójkąta, zauważyć, że to również środek boku drugiego trójkąta
XIV OMJ
5.
zauważ że
\(\displaystyle{ 3 \cdot 10 ^{m} \le n < 9 \cdot 10 ^{m}}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) to liczba cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\).
Z tego wynika, że
\(\displaystyle{ 9 \cdot 10 ^{m} \le 3n < 27 \cdot 10^{m}}\)
a z tego zapisu wynika, że pierwsza cyfra \(\displaystyle{ 3n}\) to \(\displaystyle{ 9, 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\).
3.
prosta \(\displaystyle{ l}\) albo w ogóle nie przecina \(\displaystyle{ 101}\)-kąta
albo przecina go, dzieląc \(\displaystyle{ 101}\)-kąt w ten sposób, że po jednej stronie jest parzysta, po drugiej stronie nieparzysta ilość wierzchołków. Z tego łatwo wynika, że przecina parzystą liczbę przekątnych.-- 17 sty 2019, o 16:23 --
zauważ że
\(\displaystyle{ 3 \cdot 10 ^{m} \le n < 9 \cdot 10 ^{m}}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) to liczba cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\).
Z tego wynika, że
\(\displaystyle{ 9 \cdot 10 ^{m} \le 3n < 27 \cdot 10^{m}}\)
a z tego zapisu wynika, że pierwsza cyfra \(\displaystyle{ 3n}\) to \(\displaystyle{ 9, 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\).
3.
prosta \(\displaystyle{ l}\) albo w ogóle nie przecina \(\displaystyle{ 101}\)-kąta
albo przecina go, dzieląc \(\displaystyle{ 101}\)-kąt w ten sposób, że po jednej stronie jest parzysta, po drugiej stronie nieparzysta ilość wierzchołków. Z tego łatwo wynika, że przecina parzystą liczbę przekątnych.-- 17 sty 2019, o 16:23 --
3 zadania zrobione (1,3,4), 5-te rozgrzebane. Dla mnie rewelacja. Jednak widzę, że zadania były bardziej "do zrobienia" (łatwiejsze), niż z zeszłych lat. Dlatego myślę, że dla gimnazjum próg będzie dość wysoki. Liczę na niższy próg dla podstawówkiSamboor pisze:Jak wam poszło i jakiego progu się spodziewacie?
Ostatnio zmieniony 17 sty 2019, o 14:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Re: XIV OMJ
Jestem mocno za stary na te zadania, ale znalazłem chwilkę na przekminę. Nie widziałem żeby pojawiło się moje rozwiązania zadania drugiego, więc je wrzucam
Zadanie 2.:
Ważna uwaga: