kolorowanie liczb

[Biel124]

Każdą liczbę całkowitą pomalowano na jeden z trzech kolorów. Wykazać, że istnieją takie trzy liczby całkowite a,b,c, że a+b,b+c,a+c,a+b+c są tego samego koloru. Czy dla dowolnego n jeśli pomalujemy liczby całkowite na n kolorów to można znaleźć takie n liczb całkowitych, że "wszystkie ich sumy" są tego samego koloru. A jeśli nie, to jaka jest największą liczbą n, dla której jest to możliwe?

[Premislav]

Problem był już poruszony w kółku matematycznym
(chyba nawet założyłem poświęcony mu wątek), generalnie to może zainteresować Cię twierdzenie Hindmana (Hindman's theorem).
Choć nie ukrywam, że wciąż czekam na elementarny dowód dla kolorowania na \(\displaystyle{ 3}\) kolory jak papież Polak na kremówki.