Geometria w OMJ

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
MrReq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 19 wrz 2017, o 17:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Geometria w OMJ

Post autor: MrReq »

Dobry wieczór
Jestem tu nowy więc jeśli w złym dziale zamiaszczam temat to z góry przepraszam. Mój problem polega na tym ,że za grosz nie idą mi zadania geometryczne z archiwalnych testów OMJ , czy macie jakieś porady odnośnie takich zadań lub może wiecie na co szczególnie zwracać uwage?
PokEmil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Geometria w OMJ

Post autor: PokEmil »

Należy głównie znać te pięć "wykraczające" poza gimnazjum twierdzenia:
1. Jeśli w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) to odpowiednio środki boków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\), to:\(\displaystyle{ PQ= \frac {AB}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ PQ || AB}\) (to idzie z twierdzenia Talesa).
2. Jeśli w trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) (gdzie \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) to podstawy trapezu) punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) to odpowiednio środki ramion \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\), to: \(\displaystyle{ PQ = \frac {AB+CD}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ AB || PQ || CD}\) (spróbuj to udowodnić dorysowując przekątną i stosując dwukrotnie pierwsze twierdzenie).
3. W trójkącie prostokątnym, długość środkowej wychodzącej z wierzchołka kąta prostego jest równa długości połowy przeciwprostokątnej i długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
4. W dowolnym trójkącie najdłuższy bok leży naprzeciw kątowi o największej mierze, a najkrótszy bok leży naprzeciw kątowi o najmniejszej mierze (jest to szczególnie przydatne w części testowej).
5. Jeśli dwie nierównoległe proste są styczne do okręgu w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), to \(\displaystyle{ AP=BP}\) (swoją drogą, to twierdzenie jest zwane najważniejszym twierdzeniem w geometrii!).

Należy znać rachunek na kątach i sprawnie się nim obsługiwać (kąty wpisane mają dwukrotnie mniejszą miarę od kąta środkowego w okręgu, dwa kąty oparte na tym samym łuku mają jednakową miarę, w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, dwusieczna dzieli kąt na dwa kąty o tej samej mierze). Należy także pamiętać, że trójkąty o równych podstawach i równych wysokościach mają równe pola. Należy też znać wszystkie własności wszystkich czworokątów (w tym także deltoidów), własności przekątnych (czy np. punkt ich przecięcia je połowi, czy przecinają się pod kątem prostym), czy można na danym czworokącie (np. rombie czy trapezie) opisać / wpisać okrąg, czy zawsze, a jeśli nie zawsze - to kiedy można? Warto znać nierówność trójkąta.

To praktycznie tyle teorii - myślę że dość mało (a i myślę, że starczy ona także na część korespondencyjną czy drugi etap). Najważniejszym elementem jest po prostu robienie zadań. Rób każdą edycję tych testów po kolei, a gdy zrobisz całą geometrię stamtąd, to porób zadania z części korespondencyjnej z pierwszych etapów.

Jeśli chodzi o to, jak masz rozwiązywać zadania, to:
- z części testowej - na zadanko poświęć do dwudziestu minut. Gdy nic nie zdołasz wymyślić, zobacz pierwsze zdanie, lub dwa i spróbuj pomyśleć sam ponownie.
- z części korespondencyjnej - na zadanko poświęć do godziny. Tak samo jak wyżej, patrz pierwsze zdanie podpowiedzi i próbuj dalej sam.

Z czasem zobaczysz, że geometria będzie iść tylko lepiej. Czasem wystarczy dorysować jedną prostą, środek odcinka, a wszystko staje się widoczne jak na dłoni. Po prostu trzeba mieć w tym wprawę. Życzę powodzenia w XIV OMJ!
Ostatnio zmieniony 11 lip 2018, o 10:37 przez PokEmil, łącznie zmieniany 1 raz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Geometria w OMJ

Post autor: Jan Kraszewski »

PokEmil pisze:4. W dowolnym trójkącie najdłuższy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku, a najkrótszy bok leży naprzeciw najkrótszego boku (jest to szczególnie przydatne w części testowej).
Hmmm...

No i co to jest "najdłuższy kąt"?

JK
PokEmil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Geometria w OMJ

Post autor: PokEmil »

Jakieś przejęzyczenie mi się wkradło. I fakt, powinienem napisać "miara największego kąta", już poprawiam.
ODPOWIEDZ