LXIX OM
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 19 mar 2016, o 12:38
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 10 razy
LXIX OM
Należę do warszawskiego i jestem bardzo ciekawy progu punktowego. Mam wrażenie, że było ponad 42 bo się nie dostałem xD. Trudno, trzeba spróbować za rok i jakoś zrobić te 10 zadań, bo ze Staszicem jest ciężko, bodajże 103 osoby na 140 z okręgu.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
LXIX OM
Pochwalę się - z klasy, którą uczę, do II etapu przeszło 19 z 24 osób (i kilka osób z zajęć indywidualnych).
Brak jest ogólnej informacji o "literkach" klas wśród uczniów zakwalifikowanych do II etapu, ale jest duża szansa, że to najliczniejsza reprezentacja klasowa w Polsce. Oby to się przełożyło na finał
Znam osoby z okręgu warszawskiego, którym nie wystarczyło wysłanie 7 zadań, znam też takie, którym wystarczyło wysłanie 8 zadań.
Brak jest ogólnej informacji o "literkach" klas wśród uczniów zakwalifikowanych do II etapu, ale jest duża szansa, że to najliczniejsza reprezentacja klasowa w Polsce. Oby to się przełożyło na finał
Znam osoby z okręgu warszawskiego, którym nie wystarczyło wysłanie 7 zadań, znam też takie, którym wystarczyło wysłanie 8 zadań.
LXIX OM
Ja mogę wrzucić za jakieś 40 minut ale może ktoś mnie uprzedzi...
-- 9 lut 2018, o 17:01 --
Zadanie 1
Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f}\) określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmującej wartości rzeczywiste, które spełniają oba warunki:
- \(\displaystyle{ f(x)+f(y) \ge xy}\)
- Dla każdej rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) istnieje taka liczba rzeczywista \(\displaystyle{ y}\) że \(\displaystyle{ f(x)+f(y)=xy}\).
Zadanie 2
Dana jest dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\) która z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8}\) daje resztę \(\displaystyle{ 4}\) .
Liczby \(\displaystyle{ 1=k_1<k_2<...<k_m=n}\) sa wszystkimi dodatnimi dzielnikami liczby \(\displaystyle{ n}\). Udowodnij że jeśli liczba \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1,2,3,...,m-1\right\}}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) to \(\displaystyle{ k_{i+1} \le 2k_i}\)
-- 9 lut 2018, o 17:05 --
Zadanie 3
Symetralna \(\displaystyle{ BC}\) przecina okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) , przy czym punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ BC}\) . Punkt \(\displaystyle{ R}\) jest rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ P}\) na prosta \(\displaystyle{ AC}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AQ}\). Wykaż że punkty \(\displaystyle{ A,B,R}\) i \(\displaystyle{ S}\) leżą na jednym okręgu
-- 9 lut 2018, o 17:07 --
Nie wiem, może mam spadek formy ale wydaje mi się że zestaw był trudny 1 zadanie to wiadomo ale miałem problem z 2 i wydaje mi się że poziom był trudniejszy niż rok temu, ale to moje osobiste zdanie.
-- 9 lut 2018, o 17:01 --
Zadanie 1
Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f}\) określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmującej wartości rzeczywiste, które spełniają oba warunki:
- \(\displaystyle{ f(x)+f(y) \ge xy}\)
- Dla każdej rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) istnieje taka liczba rzeczywista \(\displaystyle{ y}\) że \(\displaystyle{ f(x)+f(y)=xy}\).
Zadanie 2
Dana jest dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\) która z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8}\) daje resztę \(\displaystyle{ 4}\) .
Liczby \(\displaystyle{ 1=k_1<k_2<...<k_m=n}\) sa wszystkimi dodatnimi dzielnikami liczby \(\displaystyle{ n}\). Udowodnij że jeśli liczba \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1,2,3,...,m-1\right\}}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) to \(\displaystyle{ k_{i+1} \le 2k_i}\)
-- 9 lut 2018, o 17:05 --
Zadanie 3
Symetralna \(\displaystyle{ BC}\) przecina okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) , przy czym punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ P}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ BC}\) . Punkt \(\displaystyle{ R}\) jest rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ P}\) na prosta \(\displaystyle{ AC}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AQ}\). Wykaż że punkty \(\displaystyle{ A,B,R}\) i \(\displaystyle{ S}\) leżą na jednym okręgu
-- 9 lut 2018, o 17:07 --
Nie wiem, może mam spadek formy ale wydaje mi się że zestaw był trudny 1 zadanie to wiadomo ale miałem problem z 2 i wydaje mi się że poziom był trudniejszy niż rok temu, ale to moje osobiste zdanie.
Ostatnio zmieniony 9 lut 2018, o 16:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
LXIX OM
Zadanie 1.
Kładąc \(\displaystyle{ x=y}\) w pierwszym warunku dostajemy \(\displaystyle{ f(x)\ge \frac{x^2}{2}}\) (w szczególności \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne), wstawiając \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ f(0)+f(y)\ge 0}\) i równość zajdzie dla pewnego \(\displaystyle{ y}\) (na mocy drugiego warunku).
Stąd \(\displaystyle{ f(0)=0}\).
Zatem otrzymaliśmy \(\displaystyle{ f(x)+f(y)\ge \frac{x^2+y^2}{2} \ge xy}\)
(ostatnia nierówność jest ultra znana, a pierwsza wynika z wcześniej pokazanego \(\displaystyle{ f(x)\ge \ldots}\)), skoro dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) istnieje więc
\(\displaystyle{ y\in \RR}\) takie, że zajdzie \(\displaystyle{ f(x)+f(y)=xy}\), to w szczególności musi wtedy zajść równość w nierówności \(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2}{2}\ge xy}\), czyli \(\displaystyle{ x=y}\), stąd \(\displaystyle{ 2f(x)=x^2}\), czyli jedyna możliwość to \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2}{2}}\).
Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że taka funkcja spełnia warunki zadania.
-- 9 lut 2018, o 16:22 --
Wcześniej kliknąłem wyślij zamiast podgląd, karważ mać.
-- 9 lut 2018, o 16:24 --
Albo powaliły mi się kwantyfikatory? Idę spać.
Kładąc \(\displaystyle{ x=y}\) w pierwszym warunku dostajemy \(\displaystyle{ f(x)\ge \frac{x^2}{2}}\) (w szczególności \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne), wstawiając \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ f(0)+f(y)\ge 0}\) i równość zajdzie dla pewnego \(\displaystyle{ y}\) (na mocy drugiego warunku).
Stąd \(\displaystyle{ f(0)=0}\).
Zatem otrzymaliśmy \(\displaystyle{ f(x)+f(y)\ge \frac{x^2+y^2}{2} \ge xy}\)
(ostatnia nierówność jest ultra znana, a pierwsza wynika z wcześniej pokazanego \(\displaystyle{ f(x)\ge \ldots}\)), skoro dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) istnieje więc
\(\displaystyle{ y\in \RR}\) takie, że zajdzie \(\displaystyle{ f(x)+f(y)=xy}\), to w szczególności musi wtedy zajść równość w nierówności \(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2}{2}\ge xy}\), czyli \(\displaystyle{ x=y}\), stąd \(\displaystyle{ 2f(x)=x^2}\), czyli jedyna możliwość to \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2}{2}}\).
Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że taka funkcja spełnia warunki zadania.
-- 9 lut 2018, o 16:22 --
Wcześniej kliknąłem wyślij zamiast podgląd, karważ mać.
-- 9 lut 2018, o 16:24 --
Albo powaliły mi się kwantyfikatory? Idę spać.
LXIX OM
Tak właśnie zrobiłem, pytanie co z drugim próbowałem z indukcja względem liczb pierwszych w rozkładzie na czynniki pierwsze jednak to nie dało rezultatu poza bardzo słaba wersja twierdzenia z zadania, znowu rakowa forma na OM:(
- WolfusA
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
LXIX OM
Trudność 3>2>1. Geometria na co najmniej zeszłorocznym poziomie dnia 1. Jakie działy matematyki się jutro mogą pojawić, a jakie nie powinny? Wiem, że to tylko wróżby, ale na pewno nie będzie drugiego równania funkcyjnego.
LXIX OM
A jak oceniacie trudność 2? Bo dla mnie to potęga, a w mojej opinii utwierdziło mnie rozwiązanie Sylwka.
Ostatnio zmieniony 9 lut 2018, o 18:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: utwierdziło.
Powód: Poprawa wiadomości: utwierdziło.