LXIX OM

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

LXIX OM

Post autor: PoweredDragon » 23 mar 2018, o 16:31

WolfusA pisze:To ciekawe w takim razie, że aż 140 osób przy progu \(\displaystyle{ $\ge 21$}\)
Pewnie dlatego, że próg jest wyznaczany tak, żeby było te x osób (nie odwrotnie) [przynajmniej większość olimpiad ma taki system], więc i tutaj... Zadania były na tyle łatwe, że można było te cztery zrobić (szczególnie geometria z drugiego dnia to darmowe 6 punktów. Aż żałuję, że jestem geometrycznie ślepy )
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

LXIX OM

Post autor: WolfusA » 23 mar 2018, o 18:03

Ja za to nie mogę sobie wybaczyć, że zrobiłem zadanie 3 na 6 punktów, czyli najtrudniejsze z 1. dnia, a nie zrobiłem zadania 5., które nie było kosmosem. Nawet powiedziałbym, że jest wiele łatwiejsze niż zadanie 3.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

LXIX OM

Post autor: PoweredDragon » 23 mar 2018, o 21:06

A udało ci się chociaż dostać do finału? Szczerze to obstawiam, że osoba, która tak jak ja jest na tyle zerem geometrycznym, że nie widzi dwóch trójkątów podobnych/trójkątów o równych polach, nie miała prawie szans przejść dalej. Niestety takie są realia - co mi po znajomości wszystkich dziwadeł, jak nie widzę takich oczywistości (podobnie w zadaniu trzecim myślałem o narysowaniu środka okręgu, ale stwierdziłem, że będzie on w tym miejscu bezużyteczny - masz ci los ).
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

LXIX OM

Post autor: WolfusA » 23 mar 2018, o 21:22

Tak, przeszedłem. Na drugi dzień byłem tak zdenerwowany na to zadanie 5., że jak zobaczyłem rozwiązanie, to sobie myślę: autor sobie szacuje z dwóch stron na luzie, a ja tworzę jakieś ciągi charakterystyczne tych podzbiorów, tzn. zero-jedynkowe w zależności czy element należy do podzbioru. (widziałem to kiedyś na zawodach Austriacko-Polskich), a to tylko komplikowało sprawę.
Akurat w zadaniu 3 nie malowałem środka, tylko pamiętałem, że leży na tej symetralnej

Awatar użytkownika
Blazo2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 31 gru 2017, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bochnia
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 12 razy

LXIX OM

Post autor: Blazo2000 » 23 mar 2018, o 21:30

Tak, próg 21 pkt.

Awatar użytkownika
Tani Mefedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 kwie 2018, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

LXIX OM

Post autor: Tani Mefedron » 18 kwie 2018, o 14:23

niech ktoś zadanka z finału wrzuci
Ostatnio zmieniony 18 kwie 2018, o 16:22 przez Tani Mefedron, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Blazo2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 31 gru 2017, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bochnia
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 12 razy

LXIX OM

Post autor: Blazo2000 » 18 kwie 2018, o 15:25

1. Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ AB < AC}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\). Udowodnić, że prosta przechodząca przez środki okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ADM}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ AD}\).

2. Dany jest \(\displaystyle{ n}\)-elementowy podzbiór \(\displaystyle{ S}\) płaszczyzny składający się z punktów o obu współrzędnych całkowitych, przy czym \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą. Różnowartościowa funkcja \(\displaystyle{ f: S \to S}\) spełnia następujący warunek: dla każdej pary punktów \(\displaystyle{ A, B}\) należących do \(\displaystyle{ S}\), odległość między punktami \(\displaystyle{ f(A)}\) i \(\displaystyle{ f(B)}\) jest nie większa niż odległość między punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Wykazać, że istnieje taki punkt \(\displaystyle{ X}\) należący do \(\displaystyle{ S}\), że \(\displaystyle{ f(X)=X}\).

3. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ c}\), dla których istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ f: \RR\to\RR}\), ża dla wszystkich \(\displaystyle{ x, y}\) należących do rzeczywistych spełniona jest równość:
\(\displaystyle{ f(f(x)+f(y))+cxy=f(x+y)}\).
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2018, o 01:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Awatar użytkownika
Tani Mefedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 kwie 2018, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

LXIX OM

Post autor: Tani Mefedron » 18 kwie 2018, o 16:21

trzecie zadanie bardzo podobne do drugiego z zeszłorocznego IMO

Awatar użytkownika
Blazo2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 31 gru 2017, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bochnia
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 12 razy

LXIX OM

Post autor: Blazo2000 » 18 kwie 2018, o 16:37

Co sądzicie o poziomie trudności, na przykład w porównaniu do zeszłego roku?

Awatar użytkownika
Tani Mefedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 kwie 2018, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

LXIX OM

Post autor: Tani Mefedron » 19 kwie 2018, o 15:19

forum umarło

Awatar użytkownika
xxDorianxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 404
Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 22 razy

LXIX OM

Post autor: xxDorianxx » 19 kwie 2018, o 15:58

Tani Mefedron, no :/

Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1110
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

LXIX OM

Post autor: Mruczek » 19 kwie 2018, o 19:10

Dyskusja i zadania są na AoPS: https://artofproblemsolving.com/communi ... _mo_finals

Piszą tam, że podzadanie (o nieistnieniu wielokąta o nieparzystej liczbie boków równych) zad. 2 z pierwszego dnia było kiedyś na shortliście.

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 206
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

LXIX OM

Post autor: WolfusA » 20 kwie 2018, o 17:31

Zadanie 6 zapewne miało pełnić funkcję wyłonienia najlepszych sześciu. Uczniowie znający algebrę mieli ułatwione życie. Klasy równoważności i te sprawy. Jak dla mnie to takie zadania powinny być na IMC, ale jak kto lubi wyłaniać reprezentację.

Awatar użytkownika
Tani Mefedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 kwie 2018, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

LXIX OM

Post autor: Tani Mefedron » 21 kwie 2018, o 11:23

tak w ogóle to zadania z rozwiązaniami już na stronie są

fszew
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 12 cze 2019, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Re: LXIX OM

Post autor: fszew » 12 cze 2019, o 21:29

Próbowałem rozwiązać jedno z zadań finałowych (3) i chciałbym porposić o sprawdzenie rozwiązania.
Organizatorzy zaproponowali inne.
Link: https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main ... om69_3.pdf

Z treści zadania:
\(\displaystyle{ f(f(x) + f(y)) + cxy = f(x + y )\ (1)}\)

Zauważmy, że jeśli istnieje niezerowe x spełniające równanie:
\(\displaystyle{ f(x)=x}\), wtedy (korzystając z równości \(\displaystyle{ (1)}\):
\(\displaystyle{ f(2x)=f(f(x)+f(x))+cx^2}\)
wiadomo, że:
\(\displaystyle{ f(f(x)+f(x))=f(2x)}\), czyli redukując stronami:
\(\displaystyle{ cx^2=0}\)
dla niezerowego \(\displaystyle{ x}\) oznacza to:
\(\displaystyle{ c=0}\).
Czyli wystarczy wykazać, że ta zależność zachodzi, aby udowodnić c=0.

Stosując równość \(\displaystyle{ (1)}\), otrzymujemy dla \(\displaystyle{ y=0}\):
\(\displaystyle{ f(x)=f(f(x)+f(0))\ (2)}\).
Kładąc również \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f(0)=f(2f(0))\ (3)}\)

Z równości \(\displaystyle{ (1)}\), \(\displaystyle{ (2)}\) oraz \(\displaystyle{ (3)}\) wynika też, że:
\(\displaystyle{ f(x+2f(0))=f(f(x)+f(2f(0)))+2cxf(0)=f(f(x)+f(0))+2cxf(0)=x+2cxf(0)}\)
Dla większej zrozumiałości przepiszę: \(\displaystyle{ f(x+2f(0))=x+2cxf(0)\ (4)}\)
Gdy zastosujemy x=0 w równaniu \(\displaystyle{ (4)}\):
\(\displaystyle{ f(2(f(0))=0}\), czyli jak wynika z równania \(\displaystyle{ (3)}\):
\(\displaystyle{ f(0)=0}\)
Tę wartość podstawiamy do równości \(\displaystyle{ (2)}\):
\(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ t=f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(t)=t}\)
Widzimy, że jeśli funkcja jest stała i jej wartość zawsze przyjmuje \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ c=0}\). W przeciwnym wypadku dostarcza nam niezerowego rozwiązania równania \(\displaystyle{ f(x)=x}\), co kończy rozwiązanie zadania.
Wykazaliśmy, że \(\displaystyle{ c=0}\).

ODPOWIEDZ