XIII OMJ

[PokEmil]

II etap już się zbliża wielkimi krokami, niedługo poznamy listę półfinalistów, zatem trzeba się poważniej wziąć za zadanka. Może wcześnie o to pytam, ale, jak sądzicie, jakie będą zadania na II etapie? Ja uważam, że:
1 - Jakieś dość łatwe zadanie zadanie, polegające na udowodnieniu prawdziwości równania.
2 - W każde pole tablicy wpisano liczbę, udowodnij jakaś tam zależność.
3 - Jakieś zadanie z geometrii na poziomie średnio-trudnym.
4 - Dość trudny dowód, typu: "A dzieli się przez B, udowodnij że C dzieli się przez D".
5 - Myślę, że będzie stereometria, "Czy istnieje wielościan(...)", na którą odpowiedzią będzie tak.

[bartokot]

Pojawiły się już listy osób zakwalifikowanych do drugiego etapu:

[robalbrowal]

Jak, dostaliście się? Ja tak, PokEmil myślę, że to dużo za wcześnie na dywagacje o zadaniach, ale też nie mają one żadnego sensu, tak uważam, zresztą wg mnie za bardzo na zeszły rok patrzysz . Puścili więcej osób niż w zeszłym roku, choć nie ma 1. gimnazjum, ale myślę, że to dobrze, bo przejście do 2. etapu motywuje do nauki.

[Premislav]

Taka drobna uwaga: prawdziwości równania się nie dowodzi, można rozwiązać równanie, natomiast udowodnić równość, tożsamość, własność, twierdzenie itd.
Gratulacje dla wszystkich zakwalifikowanych i powodzenia w II etapie.

[PokEmil]

Dostałem się Robalbrowal, w sumie myślę teraz że zamiast tablicy będzie jeszcze jedna geometria, bo w sumie w tamtym roku była tylko jedna. Oczywiście są to tylko zwykłe przypuszczenia, a nuż może się potwierdzą. Także życzę wszystkim powodzenia w II etapie. Niech wygrają najlepsi!

[bartokot]

Pojawiły się statystyki etapu korespondencyjnego:


Trudność zadań: \(\displaystyle{ 1<2<7<6<3<5<4}\)

[Biel124]

Fajnie, ale trochę jestem zaskoczony trudnością zadań.

[robalbrowal]

Trudność zadań (biorąc pod uwagę liczbę wysłanych prac): \(\displaystyle{ 1<7<3<6<5<2<4}\)

[robalbrowal]

I jak wrażenia po 2. etapie?

[andkom]

Zadanie 5 krótko i nietypowo:
Wśród liczb \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ 23409}\), \(\displaystyle{ 34225}\), \(\displaystyle{ 485809}\) któreś dwie są tego samego koloru, a wszystkie odległości między nimi są kwadratami:
\(\displaystyle{ 23409-0=153^2}\)
\(\displaystyle{ 34225-23409=104^2}\)
\(\displaystyle{ 34225-0=185^2}\)
\(\displaystyle{ 485809-34225=672^2}\)
\(\displaystyle{ 485809-23409=680^2}\)
\(\displaystyle{ 485809-0=697^2}\)

[bartokot]

Zrobiłem 1, 2, 3, myślę, że będzie 17 punktów.

[PokEmil]

Ja tak samo jak bartokot, zrobiłem 1, 2, 3, z tym że w trzecim, gdy

Spoiler - jeśli nie robiłeś zadań, nie wciskaj:    

doszedłem do wyrażenia \(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2})(z^{2}+1)=5=5 \cdot 1}\) i napisałem odpowiednie dwa układy równań, nie napisałem, że nie można "rozbić" \(\displaystyle{ 5}\) na czynniki \(\displaystyle{ -5 \cdot (-1)}\), ponieważ liczby są kwadratami liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) nieujemne (no i tam jeszcze jest \(\displaystyle{ 1}\)).

Mogą mi za to ściąć to rozwiązanie do 5 punktów?
Piąte próbowałem robić, mam nadzieję, że za to dostanę chociaż z 2/6.
Oczywiście takim subiektywnym progiem byłoby \(\displaystyle{ <18/30}\). Szczerze, to tak jak patrzyłem, ile osób ma 3, a ile 4 zadania, to mimo dużego wg mnie stopnia trudności, mam wrażenie, że próg będzie wysoki. Oby to były tylko pozory. Patrząc na poprzednie edycje, jeśli brać pod uwagę tylko stopień trudności zadań, to myślę, że próg wyjdzie \(\displaystyle{ 14/30}\). No cóż, czas pokaże.
A jeszcze co do kolejności trudności zadań to dla mnie: \(\displaystyle{ 2<1<3<5<4}\). Pierwszy raz geometria okazała się dla mnie najłatwiejsza. Dziwne.

[Szymeq]

Ogólnie nie przygotowywałem się do konkursu, w sumie trochę szkoda bo jeszcze jedno zadanie i na finał by starczyło. Mam 1 i 3. Moje rozwiązanie 5 wydawało mi się dobre, ale jednak pod koniec trochę się rozpadło.

[robalbrowal]

Edit: Tu zadania jak coś:
Wg mnie udało mi się rozwiązać 1.-4. Chciałbym zobaczyć firmowe albo po prostu czyjeś rozwiązania zadań 3. i 5. Jestem ich ciekawy. Może przedstawmy tu swoje rozwiązania.
1

Ukryta treść:    

Rozwijamy te wyrażenia:
\(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2} +2ax+2bx+2x ^{2} =c ^{2}+x ^{2}+2cx}\). Skoro \(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2}=c ^{2}}\), to:
\(\displaystyle{ 2ax+2bx-2cx+x^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x(2a+2b-2c+x)=0}\), więc \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ 2a+2b-2c+x=0 , x \neq 0}\) (bo dodatni), więc
\(\displaystyle{ 2a+2b-2c+x=0}\), czyli
\(\displaystyle{ 2a+2b+x=2c}\), więc skoro \(\displaystyle{ x>0}\), to \(\displaystyle{ 2a+2b<2c |:2}\)
\(\displaystyle{ c>a+b | ^{2}}\) (obie strony dodatnie),
\(\displaystyle{ c^{2}>a ^{2} +b ^{2}+2a b |- c^{2} ( =a ^{2} +b ^{2} )}\)
\(\displaystyle{ 0 >2ab}\) - sprzeczność (\(\displaystyle{ a,b}\) - dodatnie)

[PokEmil]

Zadanie nr 3:    

\(\displaystyle{ \begin{cases}x-yz=1 \ \ \ \ | \ .^{2} \\ xz+y=2 \ \ \ \ | \ .^{2} \end{cases}}\) Podnosząc oba równania stronami do kwadratu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^{2}-2xyz+y^{2}z^{2}=1 \\ x^{2}z^{2}+2xyz+y^{2}=4\end{cases}}\) Dodając oba równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^{2}z^{2} + y^{2}z^{2} + x^{2} + y^{2} = 5}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2})(z^{2} + 1) = 5 \cdot 1}\)
Więc mamy taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ z^{2} + 1 = 5 \end{cases}\wedge \ \ \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 5 \\ z^{2} + 1 = 1 \end{cases}}\).
Każda ze stron lewego równania jest dodatnia, więc nie można zapisać prawej strony równania jako liczb \(\displaystyle{ -5 \cdot (-1) = 5}\). <tego zapomniałem napisać w rozwiązaniu>
Liczba \(\displaystyle{ z}\) może więc przybrać jedynie trzy wartości: \(\displaystyle{ -2}\), \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 2}\).
Gdy \(\displaystyle{ z=-2}\), to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-(-2y)=x+2y=1 \\ -2x+y=2\end{cases}}\) Mnożąc pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ 2}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+4y=2 \\ -2x+y=2\end{cases}}\) Dodając oba równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 5y=4}\) Dzieląc przez 5 mamy:
\(\displaystyle{ y= \frac {4} {5} \Rightarrow}\) sprzeczność.
Gdy \(\displaystyle{ z=0}\), to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-0=1 \\ 0+y=2\end{cases}}\) Więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}}\)
Bezpośrednio sprawdzając, trójka liczb \(\displaystyle{ (1, 2, 0)}\) spełnia układ równań podany w zadaniu.
Gdy \(\displaystyle{ z=2}\), to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-2y=1 \\ 2x+y=2\end{cases}}\) Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ 2}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-2y=1 \\ 4x+2y=4\end{cases}}\) Dodając oba równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 5x=5}\), więc \(\displaystyle{ x=1}\).
\(\displaystyle{ xz+y=1 \cdot 2 + y = 2}\) Odejmując \(\displaystyle{ 2}\) od obu stron otrzymujemy \(\displaystyle{ y=0}\).
Bezpośrednio sprawdzając, trójka \(\displaystyle{ (1, 0, 2)}\) spełnia warunki zadania.

Odpowiedź.: Wszystkie trójki liczb \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) spełniające układ równań podany w treści zadania to trójki \(\displaystyle{ (1, 2, 0)}\) oraz \(\displaystyle{ (1, 0, 2)}\).