LXVIII (68) OM - II etap
LXVIII (68) OM - II etap
1. Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p > 2}\) istnieje dokładnie jedna taka dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\), że liczba \(\displaystyle{ n^{2} + np}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
2. W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ D}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Dowieść, że pole trójkąta \(\displaystyle{ APQ}\) jest równe polu czworokąta \(\displaystyle{ BCQP}\) wtedy i tylko wtedy, gdy środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) leży na prostej \(\displaystyle{ PQ}\).
3. Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_{1} \le x_{2} \le .. \le x_{2n-1}}\), których średnia arytmetyczna równa jest \(\displaystyle{ A}\). Wykazać, że
\(\displaystyle{ 2 \cdot \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-A\right) ^{2} \ge \sum_{i=1}^{2n-1} \left( x_{i}-x_{n}\right)^{2}}\)
4. Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Punkt \(\displaystyle{ J}\) jest środkiem okręgu dopisanego do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), stycznego do boku \(\displaystyle{ BC}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są odpowiednio środkami odcinków \(\displaystyle{ JD}\) i \(\displaystyle{ JE}\). Proste \(\displaystyle{ BM}\) i \(\displaystyle{ CN}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Udowodnić, że punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). (Uwaga. Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy okrąg styczny do jednego z boków i do przedłużeń dwóch pozostałych)
5. Smakosz Jan porównywał \(\displaystyle{ n}\) restauracji, gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dodatnią liczbą całkowitą. Każdą parę restauracji porównał w dwóch kategoriach: smaczności posiłku oraz jakości obsługi. W przypadku niektórych par Jan nie mógł się zdecydować, którą uważa za lepszą w którejś kategorii, ale w żadnej parze nie zdarzyło się to w obu kategoriach. Ponadto, jeśli Jan uznał, że restauracja A jest lepsza od restauracji B w którejś kategorii, oraz stwierdził, że restauracja B jest lepsza od restauracji C w tej samej kategorii, to uznał również, że A jest lepsza od C w tej kategorii. Udowodnić, że istnieje taka restauracja R, że każda inna restauracja została uznana za gorszą od R w chociaż jednej kategorii.
6. Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p > 2}\) oraz liczby \(\displaystyle{ x,y \in \left\{ 1,2,..., \frac{p-1}{2} \right\}}\).
Wykazać, że jeśli liczba \(\displaystyle{ x\left( p-x\right)y\left( p-y\right)}\) jest kwadratem liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ x = y}\).
Edit: Poprawiłem błąd w 3
2. W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ D}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Dowieść, że pole trójkąta \(\displaystyle{ APQ}\) jest równe polu czworokąta \(\displaystyle{ BCQP}\) wtedy i tylko wtedy, gdy środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) leży na prostej \(\displaystyle{ PQ}\).
3. Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_{1} \le x_{2} \le .. \le x_{2n-1}}\), których średnia arytmetyczna równa jest \(\displaystyle{ A}\). Wykazać, że
\(\displaystyle{ 2 \cdot \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-A\right) ^{2} \ge \sum_{i=1}^{2n-1} \left( x_{i}-x_{n}\right)^{2}}\)
4. Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Punkt \(\displaystyle{ J}\) jest środkiem okręgu dopisanego do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), stycznego do boku \(\displaystyle{ BC}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są odpowiednio środkami odcinków \(\displaystyle{ JD}\) i \(\displaystyle{ JE}\). Proste \(\displaystyle{ BM}\) i \(\displaystyle{ CN}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Udowodnić, że punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). (Uwaga. Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy okrąg styczny do jednego z boków i do przedłużeń dwóch pozostałych)
5. Smakosz Jan porównywał \(\displaystyle{ n}\) restauracji, gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dodatnią liczbą całkowitą. Każdą parę restauracji porównał w dwóch kategoriach: smaczności posiłku oraz jakości obsługi. W przypadku niektórych par Jan nie mógł się zdecydować, którą uważa za lepszą w którejś kategorii, ale w żadnej parze nie zdarzyło się to w obu kategoriach. Ponadto, jeśli Jan uznał, że restauracja A jest lepsza od restauracji B w którejś kategorii, oraz stwierdził, że restauracja B jest lepsza od restauracji C w tej samej kategorii, to uznał również, że A jest lepsza od C w tej kategorii. Udowodnić, że istnieje taka restauracja R, że każda inna restauracja została uznana za gorszą od R w chociaż jednej kategorii.
6. Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p > 2}\) oraz liczby \(\displaystyle{ x,y \in \left\{ 1,2,..., \frac{p-1}{2} \right\}}\).
Wykazać, że jeśli liczba \(\displaystyle{ x\left( p-x\right)y\left( p-y\right)}\) jest kwadratem liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ x = y}\).
Edit: Poprawiłem błąd w 3
Ostatnio zmieniony 26 lut 2017, o 16:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
LXVIII (68) OM - II etap
W tezie, oczywiście, są kwadraty Ogólnie w porzo. Poza tym, że to tak na prawdę tricki ze statystyki były niemal potrzebne do rozwiązania tego zadania. Poza tym 6 dowodów; obstawiam próg na 3-4 zadanka i może się dostanę xD
\(\displaystyle{ 2 \cdot \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-A\right)^2 \ge \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-x_{n}\right)^2}\)
@UP
Dlaczego wektor? XD Chodzi ofc. o liczbę, a jeśli to wyrazy \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\), to spełniają nierównoś w zadaniu nawet z błędem xD
\(\displaystyle{ 2 \cdot \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-A\right)^2 \ge \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-x_{n}\right)^2}\)
@UP
Dlaczego wektor? XD Chodzi ofc. o liczbę, a jeśli to wyrazy \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\), to spełniają nierównoś w zadaniu nawet z błędem xD
Ostatnio zmieniony 25 lut 2017, o 17:54 przez Kaf, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- WolfusA
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
LXVIII (68) OM - II etap
Myślicie, że takie zaprzeczenie tezy jest OK w piątym? Dla każdej restauracji R istnieje inna restauracja nie uznana za lepszą od R w żadnej kategorii. Tylko, że przeczenie "nie uznana" bierze się raczej z podwójnego przeczenia w języku polskim.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
LXVIII (68) OM - II etap
Ale my mieliśmy wykazać, że istnieje takie R, że każda inna restauracja jest nieuznana za lepszą od R w przynajmniej jednej kategorii.
To co napisałeś/aś oznacza, że każda restauracja ma jakąś "gorszą" od siebie, tj. przegrywającą w obydwu kategoriach, a przecież to nie koniecznie prawda, bo jeśli ustawilibyśmy je w niemalejący ciąg, to któraś mogłaby być gorsza od wszystkich innych :V
Nie wiem czy tak powinno wyglądać to zaprzeczenie, ale to leży gdzieś w semantyce xd
To co napisałeś/aś oznacza, że każda restauracja ma jakąś "gorszą" od siebie, tj. przegrywającą w obydwu kategoriach, a przecież to nie koniecznie prawda, bo jeśli ustawilibyśmy je w niemalejący ciąg, to któraś mogłaby być gorsza od wszystkich innych :V
Nie wiem czy tak powinno wyglądać to zaprzeczenie, ale to leży gdzieś w semantyce xd
Ostatnio zmieniony 26 lut 2017, o 13:26 przez PoweredDragon, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 6 gru 2016, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
LXVIII (68) OM - II etap
Wydaję mi się, że próg wyniesie 13-17 punktów. Bardzo niewiele osób miało więcej niż 3 zadania, a w tegorocznych zadaniach bardzo łatwo o błędy. W zeszłym roku było dużo osób, którym wydawało się, że mają 6, a jednak mieli znacznie mniej. Niektórzy byli finaliści nie przekroczyli 3 zadań.
- WolfusA
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
LXVIII (68) OM - II etap
Ja robiłem dowód nie wprost i dlatego się pytam. Właśnie o to chodzi, że prowadzi to do sprzecznościPoweredDragon pisze:Ale my mieliśmy wykazać, że istnieje takie R, że każda inna restauracja jest nieuznana za lepszą od R w przynajmniej jednej kategorii.
To co napisałeś/aś oznacza, że każda restauracja ma jakąś "gorszą" od siebie, tj. przegrywającą w obydwu kategoriach, a przecież to nie koniecznie prawda, bo jeśli ustawilibyśmy je w niemalejący ciąg, to któraś mogłaby być gorsza od wszystkich innych :V
Nie wiem czy tak powinno wyglądać to zaprzeczenie, ale to leży gdzieś w semantyce xd
Z moich przeżyć wynika, że ludzie bardzo omijali geometrię.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
LXVIII (68) OM - II etap
@WolfusA wiem, ale nie pasuje mi jako zaprzeczenie tezy; ale to winna Polskiego xD
\(\displaystyle{ \exists R_j: (\forall R_i: R_j>R_i)}\)
\(\displaystyle{ \forall R_j: (\exists R_i: R_j<R_i)}\)
Nie. W sumie jest ok.
@UP
Mój znajomy mówił, że Geo wczoraj było ez. Ja tam ani jednego Geo nie zrobiłem (zrobiłem ~Geografię na om xD)
\(\displaystyle{ \exists R_j: (\forall R_i: R_j>R_i)}\)
\(\displaystyle{ \forall R_j: (\exists R_i: R_j<R_i)}\)
Nie. W sumie jest ok.
@UP
Mój znajomy mówił, że Geo wczoraj było ez. Ja tam ani jednego Geo nie zrobiłem (zrobiłem ~Geografię na om xD)
-
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
LXVIII (68) OM - II etap
Zadanie nr 5 o Smakoszu jest znane.
Można sprowadzić problem do grafu (wierzchołki to restauracje, krawędzie skierowane między parami restauracji gdy jedna lepsza od drugiej w jakiejś kategorii, dla każdej kategorii inny kolor krawędzi), jeżeli między dwoma wierzchołkami są dwie krawędzie, to możemy jedną z nich usunąć. W ten sposób dostaniemy graf, który jest turniejem. Dodatkowo w treści jest założenie o braku jednokolorowych cykli (bo jest przechodniość).
To wersja Iran TST 2006 zad. 6.
Można sprowadzić problem do grafu (wierzchołki to restauracje, krawędzie skierowane między parami restauracji gdy jedna lepsza od drugiej w jakiejś kategorii, dla każdej kategorii inny kolor krawędzi), jeżeli między dwoma wierzchołkami są dwie krawędzie, to możemy jedną z nich usunąć. W ten sposób dostaniemy graf, który jest turniejem. Dodatkowo w treści jest założenie o braku jednokolorowych cykli (bo jest przechodniość).
To wersja Iran TST 2006 zad. 6.
Kod: Zaznacz cały
https://artofproblemsolving.com/community/c6h84260p487757
Ostatnio zmieniony 26 lut 2017, o 22:33 przez Mruczek, łącznie zmieniany 2 razy.
- WolfusA
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
LXVIII (68) OM - II etap
W zeszłym roku geo z drugiego dnia było z Pawłowskiego, w tym roku kombinatoryka z Iranu. Strach myśleć co za rokMruczek pisze:Zadanie nr 5 o Smakoszu jest znane.
Można sprowadzić problem do grafu (wierzchołki to restauracje, krawędzie skierowane między parami restauracji gdy jedna lepsza od drugiej w jakiejś kategorii, dla każdej kategorii inny kolor krawędzi), jeżeli między dwoma wierzchołkami są dwie krawędzie, to możemy jedną z nich usunąć. W ten sposób dostaniemy graf, który jest turniejem. Dodatkowo w treści jest założenie o braku jednokolorowych cykli (bo jest przechodniość).
To wersja Iran TST 2006 zad. 6.
Kod: Zaznacz cały
https://artofproblemsolving.com/community/c6h84260p487757
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 10 gru 2016, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Daleko
- Podziękował: 4 razy
LXVIII (68) OM - II etap
Wydaje mi się, że próg będzie wynosić 17 (albo nawet 18 punktów). U nas geometrię z 1. dnia zrobiły 2 osoby, więc pewnie mieli po 4 zadania (1, 2, 3, 5). Jeden były finalista miał 3 zadania.xpg pisze:Wydaję mi się, że próg wyniesie 13-17 punktów. Bardzo niewiele osób miało więcej niż 3 zadania, a w tegorocznych zadaniach bardzo łatwo o błędy. W zeszłym roku było dużo osób, którym wydawało się, że mają 6, a jednak mieli znacznie mniej. Niektórzy byli finaliści nie przekroczyli 3 zadań.
Trzeba pamiętać o XIV Staszica i V Witkowskiego.