LXVIII (68) OM - II etap

[Bourder]

Zgodnie ze stroną OM, dzisiaj powinien odbyć się drugi dzień zawodów drugiego stopnia. Jak wam poszło? Wrzuci ktoś zadania?

[Irrichi]

1. Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p > 2}\) istnieje dokładnie jedna taka dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\), że liczba \(\displaystyle{ n^{2} + np}\) jest kwadratem liczby całkowitej.

2. W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC}\) przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ D}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Dowieść, że pole trójkąta \(\displaystyle{ APQ}\) jest równe polu czworokąta \(\displaystyle{ BCQP}\) wtedy i tylko wtedy, gdy środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) leży na prostej \(\displaystyle{ PQ}\).

3. Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_{1} \le x_{2} \le .. \le x_{2n-1}}\), których średnia arytmetyczna równa jest \(\displaystyle{ A}\). Wykazać, że
\(\displaystyle{ 2 \cdot \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-A\right) ^{2} \ge \sum_{i=1}^{2n-1} \left( x_{i}-x_{n}\right)^{2}}\)

4. Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Punkt \(\displaystyle{ J}\) jest środkiem okręgu dopisanego do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), stycznego do boku \(\displaystyle{ BC}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są odpowiednio środkami odcinków \(\displaystyle{ JD}\) i \(\displaystyle{ JE}\). Proste \(\displaystyle{ BM}\) i \(\displaystyle{ CN}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Udowodnić, że punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). (Uwaga. Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy okrąg styczny do jednego z boków i do przedłużeń dwóch pozostałych)

5. Smakosz Jan porównywał \(\displaystyle{ n}\) restauracji, gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dodatnią liczbą całkowitą. Każdą parę restauracji porównał w dwóch kategoriach: smaczności posiłku oraz jakości obsługi. W przypadku niektórych par Jan nie mógł się zdecydować, którą uważa za lepszą w którejś kategorii, ale w żadnej parze nie zdarzyło się to w obu kategoriach. Ponadto, jeśli Jan uznał, że restauracja A jest lepsza od restauracji B w którejś kategorii, oraz stwierdził, że restauracja B jest lepsza od restauracji C w tej samej kategorii, to uznał również, że A jest lepsza od C w tej kategorii. Udowodnić, że istnieje taka restauracja R, że każda inna restauracja została uznana za gorszą od R w chociaż jednej kategorii.

6. Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p > 2}\) oraz liczby \(\displaystyle{ x,y \in \left\{ 1,2,..., \frac{p-1}{2} \right\}}\).
Wykazać, że jeśli liczba \(\displaystyle{ x\left( p-x\right)y\left( p-y\right)}\) jest kwadratem liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ x = y}\).

Edit: Poprawiłem błąd w 3

[bakala12]

Coś jest nie tak z treścią zadania 3. W tej formie teza jest nieprawdziwa

[WolfusA]

Nieprawda, zadanie 3 jest dobrze, a że nie chce łatwo wyjść to inna sprawa.

[Jerzy_q]

Nie, nie jest. \(\displaystyle{ \vec{x}=(1,3,6)}\)

[PoweredDragon]

W tezie, oczywiście, są kwadraty Ogólnie w porzo. Poza tym, że to tak na prawdę tricki ze statystyki były niemal potrzebne do rozwiązania tego zadania. Poza tym 6 dowodów; obstawiam próg na 3-4 zadanka i może się dostanę xD

\(\displaystyle{ 2 \cdot \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-A\right)^2 \ge \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-x_{n}\right)^2}\)


@UP
Dlaczego wektor? XD Chodzi ofc. o liczbę, a jeśli to wyrazy \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\), to spełniają nierównoś w zadaniu nawet z błędem xD

[WolfusA]

Myślicie, że takie zaprzeczenie tezy jest OK w piątym? Dla każdej restauracji R istnieje inna restauracja nie uznana za lepszą od R w żadnej kategorii. Tylko, że przeczenie "nie uznana" bierze się raczej z podwójnego przeczenia w języku polskim.

[PoweredDragon]

Ale my mieliśmy wykazać, że istnieje takie R, że każda inna restauracja jest nieuznana za lepszą od R w przynajmniej jednej kategorii.
To co napisałeś/aś oznacza, że każda restauracja ma jakąś "gorszą" od siebie, tj. przegrywającą w obydwu kategoriach, a przecież to nie koniecznie prawda, bo jeśli ustawilibyśmy je w niemalejący ciąg, to któraś mogłaby być gorsza od wszystkich innych :V

Nie wiem czy tak powinno wyglądać to zaprzeczenie, ale to leży gdzieś w semantyce xd

[xpg]

Wydaję mi się, że próg wyniesie 13-17 punktów. Bardzo niewiele osób miało więcej niż 3 zadania, a w tegorocznych zadaniach bardzo łatwo o błędy. W zeszłym roku było dużo osób, którym wydawało się, że mają 6, a jednak mieli znacznie mniej. Niektórzy byli finaliści nie przekroczyli 3 zadań.

[WolfusA]

Ale my mieliśmy wykazać, że istnieje takie R, że każda inna restauracja jest nieuznana za lepszą od R w przynajmniej jednej kategorii.
To co napisałeś/aś oznacza, że każda restauracja ma jakąś "gorszą" od siebie, tj. przegrywającą w obydwu kategoriach, a przecież to nie koniecznie prawda, bo jeśli ustawilibyśmy je w niemalejący ciąg, to któraś mogłaby być gorsza od wszystkich innych :V

Nie wiem czy tak powinno wyglądać to zaprzeczenie, ale to leży gdzieś w semantyce xd

Ja robiłem dowód nie wprost i dlatego się pytam. Właśnie o to chodzi, że prowadzi to do sprzeczności
Z moich przeżyć wynika, że ludzie bardzo omijali geometrię.

[PoweredDragon]

@WolfusA wiem, ale nie pasuje mi jako zaprzeczenie tezy; ale to winna Polskiego xD
\(\displaystyle{ \exists R_j: (\forall R_i: R_j>R_i)}\)
\(\displaystyle{ \forall R_j: (\exists R_i: R_j<R_i)}\)


Nie. W sumie jest ok.

@UP
Mój znajomy mówił, że Geo wczoraj było ez. Ja tam ani jednego Geo nie zrobiłem (zrobiłem ~Geografię na om xD)

[Mruczek]

Zadanie nr 5 o Smakoszu jest znane.

Można sprowadzić problem do grafu (wierzchołki to restauracje, krawędzie skierowane między parami restauracji gdy jedna lepsza od drugiej w jakiejś kategorii, dla każdej kategorii inny kolor krawędzi), jeżeli między dwoma wierzchołkami są dwie krawędzie, to możemy jedną z nich usunąć. W ten sposób dostaniemy graf, który jest turniejem. Dodatkowo w treści jest założenie o braku jednokolorowych cykli (bo jest przechodniość).

To wersja Iran TST 2006 zad. 6.

Kod: Zaznacz cały

https://artofproblemsolving.com/community/c6h84260p487757

[WolfusA]

Zadanie nr 5 o Smakoszu jest znane.

Można sprowadzić problem do grafu (wierzchołki to restauracje, krawędzie skierowane między parami restauracji gdy jedna lepsza od drugiej w jakiejś kategorii, dla każdej kategorii inny kolor krawędzi), jeżeli między dwoma wierzchołkami są dwie krawędzie, to możemy jedną z nich usunąć. W ten sposób dostaniemy graf, który jest turniejem. Dodatkowo w treści jest założenie o braku jednokolorowych cykli (bo jest przechodniość).

To wersja Iran TST 2006 zad. 6.

Kod: Zaznacz cały

https://artofproblemsolving.com/community/c6h84260p487757

W zeszłym roku geo z drugiego dnia było z Pawłowskiego, w tym roku kombinatoryka z Iranu. Strach myśleć co za rok

[kwaw]

Wydaję mi się, że próg wyniesie 13-17 punktów. Bardzo niewiele osób miało więcej niż 3 zadania, a w tegorocznych zadaniach bardzo łatwo o błędy. W zeszłym roku było dużo osób, którym wydawało się, że mają 6, a jednak mieli znacznie mniej. Niektórzy byli finaliści nie przekroczyli 3 zadań.

Wydaje mi się, że próg będzie wynosić 17 (albo nawet 18 punktów). U nas geometrię z 1. dnia zrobiły 2 osoby, więc pewnie mieli po 4 zadania (1, 2, 3, 5). Jeden były finalista miał 3 zadania.
Trzeba pamiętać o XIV Staszica i V Witkowskiego.

[Mruczek]

1.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n^{2}+np = k^{2}}\)
\(\displaystyle{ n(n+p) = k^{2}}\)
Pokażemy, że \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n + p}\) są względnie pierwsze. Nie wprost, zał. że istnieje \(\displaystyle{ q}\) pierwsze takie, że \(\displaystyle{ q | n}\) i \(\displaystyle{ q | (n + p)}\). Wtedy \(\displaystyle{ q | p}\), ale \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsze, czyli \(\displaystyle{ p = q}\). Niech \(\displaystyle{ n = q n_{1}}\), \(\displaystyle{ k = qk_{1}}\). Wtedy z \(\displaystyle{ n^{2}+np = k^{2}}\):
\(\displaystyle{ q^{2}n_{1}^{2} + q^{2}n_{1} = q^{2}k_{1}^{2}}\)
\(\displaystyle{ n_{1}^{2} + n_{1} = k_{1}^{2}}\), ale
\(\displaystyle{ n_{1}^{2}<n_{1}^{2} + n_{1}<n_{1}^{2} + 2n_{1} + 1 = (n_{1} + 1)^{2}}\), więc
\(\displaystyle{ n_{1}^{2} + n_{1}}\) jest między kolejnymi dwoma kwadratami liczb naturalnych, czyli nie może być kwadratem liczby naturalnej, sprzeczność.
Tak więc \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n + p}\) są względnie pierwsze.

Widać, że \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n + p}\) muszą być kwadratami liczb naturalnych:
Weźmy dowolne pierwsze \(\displaystyle{ q}\) takie, że \(\displaystyle{ q|k}\) i niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie wykładnikiem z jakim \(\displaystyle{ q}\) wchodzi w rozkład na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ k}\). Wtedy \(\displaystyle{ q^{2\alpha} | k^{2}}\) i nie zachodzi \(\displaystyle{ q^{2\alpha + 1} | k^{2}}\). Z tego, że \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n + p}\) są względnie pierwsze wynika, że \(\displaystyle{ q}\) wchodzi w rozkład liczby \(\displaystyle{ n}\) lub liczby \(\displaystyle{ n + p}\) z wykładnikiem \(\displaystyle{ 2 \alpha}\).

Niech:
\(\displaystyle{ n = x^{2}}\) i \(\displaystyle{ n+p = y^{2}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ p = y^{2} -x^{2} = (y - x)(y + x)}\), ale \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsza i \(\displaystyle{ y - x < y + x}\), czyli \(\displaystyle{ y - x = 1}\) i \(\displaystyle{ y + x = p}\), więc \(\displaystyle{ x = \frac{p - 1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ n = \left( \frac{p - 1}{2}\right)^{ 2}}\) i widać, że jest to jedyne takie \(\displaystyle{ n}\), cnd.