XII OMJ

[xpg]

Po raz pierwszy w zadaniu "Czy istnieje taki wielościan?" odpowiedź brzmiała nie. Myślę, że zmyliło to większość i to zadanie będą mieli nieliczni. Jak wychodziłem to ludzie mieli 2, czasem 3, czyli obstawiam próg na 13-15.

[MalinaZMelonami]

Też liczę na taki próg bo miałem 2-3 zadania zrobione. Z wielościanem zakładałem, że nie istnieje, ale nie udało mi się tego dowieść. Moim zdaniem zadania były trudne. Nie podobało mi się to, że na wszystkie pytania "czy istnieje..." odpowiedź brzmiała "nie".

[TheCB]

Kilka moich szkiców:

1.

Ukryta treść:    

Załóżmy, że się da. Oznaczmy sumy z wierszy przez \(\displaystyle{ 2^{ x_{1} }}\), \(\displaystyle{ 2^{x _{2} }}\), \(\displaystyle{ 2^{x_{3}}}\), \(\displaystyle{ 2^{x_{4}}}\) (w dowolnej kolejności), a sumy z kolumn przez \(\displaystyle{ 2^{ x_{5} }}\), \(\displaystyle{ 2^{x _{6} }}\), \(\displaystyle{ 2^{x_{7}}}\), \(\displaystyle{ 2^{x_{8}}}\) (również w dowolnej kolejności), przy czym liczby \(\displaystyle{ x _{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2},}\), \(\displaystyle{ ...}\), \(\displaystyle{ x_{8}}\) są parami różne. Mamy \(\displaystyle{ 2^{ x_{1} }+ 2^{x _{2} }+2^{x_{3}}+2^{x_{4}}=2^{ x_{5} }+ 2^{x _{6} }+2^{x_{7}}+2^{x_{8}}}\). Jest to jednak niemożliwe, gdyż liczbę całkowitą dodatnią można przedstawić w postaci dwójkowej tylko na jeden sposób.

3.

Ukryta treść:    

Załóżmy, że \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą nieparzystą. Wówczas mamy \(\displaystyle{ d^{2}\mid a^{2}+2ab+b^{2}}\), skąd \(\displaystyle{ d^2\mid(a-b)^{2}}\) i \(\displaystyle{ d \mid a-b}\). Stąd łatwo \(\displaystyle{ d\mid2a}\) i \(\displaystyle{ d\mid2b}\), skąd teza. Jeśli natomiast \(\displaystyle{ d}\) jest liczbą parzystą, to łatwo zauważyć, że liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) - również. Wówczas \(\displaystyle{ \frac{d}{2}\mid \frac{a}{2}+ \frac{b}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ ( \frac{d}{2} )^{2}\mid \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2}}\) oraz jeśli \(\displaystyle{ \frac{d}{2}\mid \frac{a}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{d}{2} \mid \frac{b}{2}}\), to teza będzie spełniona. Jeśli liczba \(\displaystyle{ \frac{d}{2}}\) nadal jest parzysta, to powtarzamy powyższe rozumowanie, aż do momentu, w którym otrzymamy liczbę nieparzystą. Wtedy postępujemy jak na początku.

4.

Ukryta treść:    

Załóżmy, że takie liczby istnieją. Łatwo zauważyć, że składniki sumy z zadania mogą przyjmować wartości: \(\displaystyle{ 3+2 \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ 3-2 \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ 1}\). Oczywiście pierwszych i drugich musi być tyle samo, skąd trzecich musi być nieparzysta liczba. Rozważmy jednak następującą sytuację: zaczynamy od \(\displaystyle{ x_{1}= x_{2}=...=x _{99}= \sqrt{2}-1}\) oraz w jednym ruchu możemy zamienić dowolną liczbę \(\displaystyle{ \sqrt{2}-1}\) na \(\displaystyle{ \sqrt{2}+1}\). Łatwo dostrzec, że wykonanie ruchu nie zmienia parzystości liczby składników wynoszących jeden. Jednak na początku liczba ta była parzysta, a zatem cały czas również musi być parzysta. Sprzeczność.

[Mikkello]

Ukryta treść:    

W pierwszym zapisałem równość między sumą wierszy i sumą kolumn, oznaczylem jedną z potęg jako największą, zapisałem, że jeżeli wszystkie są mniejsze, to lewa strona =/= prawa, bo \(\displaystyle{ 2^{0}+ 2^{1} + 2^{2}...+ 2^{n-1} = 2^{n} - 1}\) i jakoś to uzasadniłem logicznie

Ukryta treść:    

W drugim narysowałem przekątne, oznaczylem odcinki, na które dzielą się przekatne ( \(\displaystyle{ AC}\) na \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), \(\displaystyle{ DB}\) na \(\displaystyle{ m, n}\), założyłem, ze \(\displaystyle{ k \ge l}\) i \(\displaystyle{ m \ge n}\)
Potem odjalem kwadraty boków od siebie, wyszło, ze ramię \(\displaystyle{ \ge}\) od podstswy, to samo zrobiłem z drugą taką parą i do tego samego doszedłem, by następnie to dodać do siebie i uzyskać, ze ramiona \(\displaystyle{ \ge}\) podstawy

Ukryta treść:    

W 3 założyłem 3 przypadki na podstawie iloczynu- \(\displaystyle{ a=d^2n}\) i \(\displaystyle{ b=m, a=n}\) i \(\displaystyle{ b=d^2m, a=dn, b= dm}\)
Potem ogarnąłem z sumą jak to wygląda i działa

Ukryta treść:    

Jak za 4 dostanę choć jeden punkt to padnę, bo uznałem, że istnieją takie liczby, ale cóż, chyba coś się ostro pomyliłem

Ogólnie, to trudność:
3<2<4<1<5

[Mruczek]

3.

Ukryta treść:    

Weźmy dowolny czynnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\) z rozkładu liczby \(\displaystyle{ d}\) na czynniki pierwsze. Zał, że występuje on w rozkładzie \(\displaystyle{ d}\) w potędze \(\displaystyle{ x}\). Pokażemy, że występuje on w \(\displaystyle{ a}\) oraz w \(\displaystyle{ b}\) co najmniej w potędze \(\displaystyle{ x}\). Mamy, że \(\displaystyle{ p^{2x} |ab}\). Jeżeli \(\displaystyle{ p^{x}|a}\) i \(\displaystyle{ p^{x}| b}\) to koniec, wpp. bso zał, że w \(\displaystyle{ a}\) \(\displaystyle{ p}\) wyst. w potędze mniejszej niż \(\displaystyle{ x}\), wtedy z \(\displaystyle{ p^{2x} |ab}\) w \(\displaystyle{ b}\) \(\displaystyle{ p}\) wst. w potędze większej od \(\displaystyle{ x}\). Ale to daje sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ d|a+b}\), bo wtedy \(\displaystyle{ p^{x}|a+b}\) oraz \(\displaystyle{ p^{x} | b}\) czyli \(\displaystyle{ p^{x} | a}\).

4.

Ukryta treść:    

Tak jak TheCB wyżej zauważamy, że \(\displaystyle{ 1}\) musi być nieparzysta ilość. \(\displaystyle{ x_{i}x _{i+1}}\) jest równe \(\displaystyle{ 1}\) wtedy gdy kolejne \(\displaystyle{ x}\)-y są różne, wpp kolejne \(\displaystyle{ x}\)-y są takie same. Liczbę \(\displaystyle{ \sqrt{2} +1}\) nazwijmy plusem, a tą z minusem minusem. Idziemy po składnikach od lewego do prawego (po coraz większych \(\displaystyle{ i}\)) - składniki równe \(\displaystyle{ 1}\) zmieniają czynniki tych składników (z plus na minus i z minus na plus), a te nierówne \(\displaystyle{ 1}\) nie zmieniają. Ponieważ \(\displaystyle{ 1}\) jest nieparzyście wiele to zakończymy na \(\displaystyle{ x}\)-ie innym niż ten z którego zaczęliśmy, ale mieliśmy skończyć na tym samym, czyli na \(\displaystyle{ x_{1}}\), sprzeczność.

[Hayran]

Mikkello, co do zadania 3, to nie jest poprawne rozumowanie

[karolex123]

Ukryta treść:    

2. Niech \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) będą środkami ramion \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\) trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\). Wówczas jesli przez \(\displaystyle{ S}\) ozmaczymy punkt przecięcia przekątnych tego trapezu, to \(\displaystyle{ \left| SM\right| = \frac{1}{2} \left|BC \right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left| SN\right|= \frac{1}{2}\left| AD\right|}\), gdyż te przekątne są prostopadłe. Ponadto \(\displaystyle{ \left| MN\right|= \frac{1}{2}( \left| AB\right|+\left| CD\right|)}\). Na mocy nierówności trójkąta \(\displaystyle{ \left| MN\right| \le \left| MS\right| +\left| NS\right|}\), co jest równoważne tezie (po podstawieniu otrzymanych zależności).

[bakala12]

Witajcie! Wszyscy się bawią, to pobawię się i ja "stary koń"

1.:    

Standardowo, zakładam, że takie sumy istnieją. Niech \(\displaystyle{ 2^{r}}\) będzie najmniejszą z sum wierszy, \(\displaystyle{ 2^{c}}\) najmniejszą z sum kolumn, zaś \(\displaystyle{ S}\) sumą liczb w całej tablicy.Patrząc na sumy wierszy łatwo widzimy, że \(\displaystyle{ 2^{r} | S}\), zaś \(\displaystyle{ 2^{r+1} \nmid S}\) oraz \(\displaystyle{ 2^{c}|S}\), ale \(\displaystyle{ 2^{c+1} \nmid S}\). Stąd \(\displaystyle{ r =c}\), co jest sprzecznością.

2.:    

Stary lemat o polach dla trapezu:
Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) to trapez o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\), zaś \(\displaystyle{ S}\) to punkt przecięcia jego przekątnych. Wówczas:
\(\displaystyle{ P_{\Delta ADS} = P_{\Delta BCS} = \sqrt{P_{\Delta ABS}\cdot P_{\Delta CDS}}}\)
(dowód pominę, lub pozostawię jako nietrudne ćwiczenie).

Rozwiązanie zadania:
Z Pitagorasa \(\displaystyle{ AB^{2}+CD^{2} = BC^{2}+AD^{2}}\).
Wystarczy więc pokazać, że \(\displaystyle{ AB \cdot CD \le BC \cdot AD}\).
Z AM-GM mamy:
\(\displaystyle{ P_{\Delta ADS}^{2} = P_{\Delta BCS}^{2} \le \frac{P_{\Delta ABS}^{2}+ P^{2}_{\Delta CDS}}{2}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ AB^{2}\cdot CD^{2} = AS^{2}\cdot CS^{2} + BS^{2}\cdot DS^{2} + AS^{2}\cdot DS^{2}+BS^{2}\cdot CS^{2}= AS^{2}\cdot CS^{2} + BS^{2}\cdot DS^{2} + 4P^{2}_{\Delta ADS}^{2} + 4P^{2}_{\Delta BCS}^{2} = AS^{2}\cdot CS^{2} + BS^{2}\cdot DS^{2} + 8P_{\Delta ABS}\cdot P_{\Delta CDS} \le AS^{2}\cdot CS^{2} + BS^{2}\cdot DS^{2} + 4P_{\Delta ABS}^{2}+4P^{2}_{\Delta CDS} = AS^{2}\cdot CS^{2} + BS^{2}\cdot DS^{2} + AS^{2}\cdot BS^{2} + CS^{2}\cdot DS^{2} = \left(BS^{2}+CS^{2}\right)\cdot \left(AS^{2}+DS^{2}\right) = BC^{2}\cdot AD^{2}}\)
To już kończy dowód.

3.:    

\(\displaystyle{ d|a+b \Rightarrow d^{2}|\left(a+b\right)^{2} \Rightarrow d|\left(a+b\right)^{2}-4ab \Rightarrow d^{2}|\left(a-b\right)^{2} \Rightarrow d|a-b}\).
Zatem \(\displaystyle{ d|2a}\) i \(\displaystyle{ d|2b}\). Jeśli \(\displaystyle{ 2 \nmid d}\), to mamy tezę. W przeciwnym przypadku niech \(\displaystyle{ d=2^{k}\cdot m}\), gdzie \(\displaystyle{ k,m \in \ZZ, \ 2 \nmid m}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ d \nmid a}\), wówczas \(\displaystyle{ 2^{k}m \nmid a}\), a patrząc na wykładniki przy \(\displaystyle{ 2}\) w podzielności \(\displaystyle{ d^{2}|ab}\) wnosimy, że \(\displaystyle{ 2^{k}|b}\), co daje, \(\displaystyle{ d|b}\). To zaś oznacza z warunku \(\displaystyle{ d|a+b}\), że \(\displaystyle{ d|a}\), co daje sprzeczność i dowodzi, że \(\displaystyle{ d|a}\) i \(\displaystyle{ d|b}\).

5.:    

Załóżmy, nie wprost, że taki wielościan istnieje.
Spostrzeżenie: w każdym wierzchołku stykają się dokładnie \(\displaystyle{ 3}\) ściany.
Dowód: To że jest ich przynajmniej \(\displaystyle{ 3}\) jest oczywiste. Gdyby było ich więcej, to suma kątów płaskich przy kącie wielościennym o tym wierzchołku przekraczałaby \(\displaystyle{ 360^{\circ}}\), co nie jest możliwe.
Niech \(\displaystyle{ w_{1}, w_{2}, \dots w_{n}}\) oznaczają liczby wierzchołków w poszczególnych ścianach. Oczywiście krawędzi w każdej ścianie jest tyle samo co wierzchołków w niej. Ponieważ każda krawędź rozdziela \(\displaystyle{ 2}\) ściany, to:
\(\displaystyle{ \sum \limits_{i=1}^{n} w_{i} = 2 \cdot 100 = 200}\).
Z drugiej strony na mocy spostrzeżenia:
\(\displaystyle{ \sum \limits_{i=1}^{n} w_{i} = 3W}\), gdzie \(\displaystyle{ W}\) to liczba wierzchołków wielościanu. Stąd otrzymalibyśmy, \(\displaystyle{ 3W=200}\), co oznacza sprzeczność, bo \(\displaystyle{ W}\) jest całkowite. Zatem taki wielościan nie istnieje.

Rozwiązanie zadania 4. sobie daruję, bo jest oparte na tym samym co pomysły wyżej.

Opinia:    

Generalnie zadania na całkiem wysokim poziomie. Dosyć ciekawe, nie spodziewałbym się wysokiego progu. Moim zdaniem nie było żadnego prostego zadania.
Pierwsze jest zaskakujące, bo nie jest zadaniem darmowym jak zazwyczaj.
Drugie to geometria, więc komentarz jest zbędny. Ja akurat wpadłem na jakieś mało ciekawe rozwiązanie, ale też nie powiedziałbym, że to zadanie było jakieś proste.
Trzecie moim zdaniem najprostsze z całego zestawu. Najprostsze, ale można dość łatwo naściemniać. W szczególności spodziewam się, że ktoś na pewno podał takie rozwiązanie:

Załóżmy, nie wprost, że \(\displaystyle{ d \nmid a}\). Wówczas na mocy warunku \(\displaystyle{ d | a+b}\) mamy \(\displaystyle{ d \nmid b}\). To zaś by oznaczało, że \(\displaystyle{ d^{2} \nmid ab}\), co jest sprzecznością.

I można się na tym nieźle przejechać, bo niby wyszło, ale to rozwiązanie jest całkowicie błędne i będzie za nie \(\displaystyle{ 0}\) punktów. Znalezienie blefa pozostawiam jako ćwiczenie
Zadanie 4, to jakieś proste kombi, nigdy nie byłem z tego dobry, ale rozwiązanie jest do wpadnięcia. Takie nie za proste jak na mój gust.
No i wreszcie zadanie 5, to tak jak wszyscy typowali "Czy istnieje wielościan...?" i pierwsze zadanie z tej serii w którym odpowiedź jest negatywna. Zadziwiające.

[Swistak]

Pragnę się stanowczo sprzeciwić głosom, że to pierwsze zadanie z kategorii "Czy istnieje wielościan blabla?" z negatywną odpowiedzią. Poszperajcie w archiwach, to znajdziecie.

[Hayran]

Swistak, owszem, były, ale we wcześniejszych edycjach.
PS. Jako ekspert w zadaniach olimpijskich, jak oceniasz tegoroczny poziom?

[Swistak]

No we wcześniejszych, wcześniejszych, bo chyba nie w tej . Nie śledzę OMGa dokładnie już od dawna, ale pamiętam, że odpowiedzi negatywne kiedyś się zdarzały, aczkolwiek rzadko. Sam nawet byłem autorem twierdzeń, że jak na OMG jest zadanie "Czy istnieje wielościan ...", to odpowiedź jest zawsze "tak", aby potem na swoim drugim finale przez 2 godziny próbować dowodzić, że taki wielościan jednak nie istnieje, mimo że istniał .

Mi osobiście zadania nie sprawiły problemów. Raczej od poziomu, na którym człowiek jest w stanie się mierzyć z większością zadań z OM, to ciężko mu odróżniać łatwe od trudnych zadań na OMG (np. zadanie 3. zrobiłem tak samo jak Mruczek i zajęło mi to bardzo mało czasu, ale rozumiem, że analiza każdego czynnika pierwszego z osobna nie musi być dla gimnazjalistów naturalnym podejściem).

[Mikkello]

Nie wiem, czy to zakazane pytanie, ale jak Wam poszło? Przynajmniej wstępnie...? ( dostępne są już wyniki )

[Ceulen]

Nie ma żadnych przecieków cd. progu?

[dec1]

Są już wyniki:


Próg 12pkt

[Hayran]

Z pozoru niski, ale i tak przeszło mniej niż rok temu.