LXVIII (68) OM - I etap
: 7 gru 2016, o 02:00
Tu był ordynarny blef xDD.
Ukryta treść:
Wszystkie x, y zawierają się w dwóch ciągach:
\(\displaystyle{ x_1 = x_2 = 1}\)
\(\displaystyle{ x_n = 2x_{n-1}+x_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ y_1 = 0}\)
\(\displaystyle{ y_2 = 1}\)
\(\displaystyle{ y_n = 2y_{n-1} + y_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ n \in \mathbb N_+}\)
Teraz niech będzie takie r, że \(\displaystyle{ r \in \mathbb N_+}\), wtedy
\(\displaystyle{ x_{f_{r}}}\) i \(\displaystyle{ y_{f_{r}}}\) będą wyrazami ciągów \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\), które spełniają to równanie; wówczas:
\(\displaystyle{ x_{f_1} = x_1}\)
\(\displaystyle{ y_{f_1} = y_1}\)
\(\displaystyle{ x_{f_2} = x_2}\)
\(\displaystyle{ y_{f_2} = y_2}\)
\(\displaystyle{ x_{f_r} = x_{f_{r-1}}^2 + 2y_{f_{r-1}}^2}\)
\(\displaystyle{ y_{f_r} = 2x_{f_{r-1}}y_{f_{r-1}}}\)
Co odpowiada elementom ciągu \(\displaystyle{ x_n}\), \(\displaystyle{ y_n}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{f_r} = x_n \Rightarrow x_{f_{r+1}} = x_{2n-1}}\) i \(\displaystyle{ y_{f_r} = y_n \Rightarrow y_{f_{r+1}} = y_{2n-1}}\)
Moim problemem było udowodnienie, że y tej postaci rozkłada się na taką sumę kwadratów (ale wiem, że jest to prawdziwe)
W dodatku do wykazania miałem też to (co jest prawdziwe): \(\displaystyle{ z_r^2 + 2t_r^2 = y_{f_{r+1}}}\)
z i r nie są zdefiniowane ciągowo jak \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), bo nie mają tak jakby ciągu właściwego; ponadto po jakimś czasie zaczyna się pojwiać więcej rozwiązań (dla \(\displaystyle{ y_{f_6}}\) mamy: \(\displaystyle{ z = 380, t =404 \vee z_{5} = 548, t_{5}=292}\), bo dają one te same wyniki po podstawieniu
Nie potrafiłem też znaleźć innej zależności w \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ t}\), ale wydaje mi się, że są głęboko związane jakimiś działaniami na \(\displaystyle{ x_{n \pm 1}}\), \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_{n \pm 1}}\), \(\displaystyle{ y_n}\)
\(\displaystyle{ x_1 = x_2 = 1}\)
\(\displaystyle{ x_n = 2x_{n-1}+x_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ y_1 = 0}\)
\(\displaystyle{ y_2 = 1}\)
\(\displaystyle{ y_n = 2y_{n-1} + y_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ n \in \mathbb N_+}\)
Teraz niech będzie takie r, że \(\displaystyle{ r \in \mathbb N_+}\), wtedy
\(\displaystyle{ x_{f_{r}}}\) i \(\displaystyle{ y_{f_{r}}}\) będą wyrazami ciągów \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\), które spełniają to równanie; wówczas:
\(\displaystyle{ x_{f_1} = x_1}\)
\(\displaystyle{ y_{f_1} = y_1}\)
\(\displaystyle{ x_{f_2} = x_2}\)
\(\displaystyle{ y_{f_2} = y_2}\)
\(\displaystyle{ x_{f_r} = x_{f_{r-1}}^2 + 2y_{f_{r-1}}^2}\)
\(\displaystyle{ y_{f_r} = 2x_{f_{r-1}}y_{f_{r-1}}}\)
Co odpowiada elementom ciągu \(\displaystyle{ x_n}\), \(\displaystyle{ y_n}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{f_r} = x_n \Rightarrow x_{f_{r+1}} = x_{2n-1}}\) i \(\displaystyle{ y_{f_r} = y_n \Rightarrow y_{f_{r+1}} = y_{2n-1}}\)
Moim problemem było udowodnienie, że y tej postaci rozkłada się na taką sumę kwadratów (ale wiem, że jest to prawdziwe)
W dodatku do wykazania miałem też to (co jest prawdziwe): \(\displaystyle{ z_r^2 + 2t_r^2 = y_{f_{r+1}}}\)
z i r nie są zdefiniowane ciągowo jak \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), bo nie mają tak jakby ciągu właściwego; ponadto po jakimś czasie zaczyna się pojwiać więcej rozwiązań (dla \(\displaystyle{ y_{f_6}}\) mamy: \(\displaystyle{ z = 380, t =404 \vee z_{5} = 548, t_{5}=292}\), bo dają one te same wyniki po podstawieniu
Nie potrafiłem też znaleźć innej zależności w \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ t}\), ale wydaje mi się, że są głęboko związane jakimiś działaniami na \(\displaystyle{ x_{n \pm 1}}\), \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_{n \pm 1}}\), \(\displaystyle{ y_n}\)