LXVIII (68) OM - I etap

[kfas]

Zadania już są
... m/68-1.pdf
kfas

[Jan Kraszewski]

Pragnę przypomnieć o zasadach panujących w tego rodzaju tematach. Nie dyskutujemy o tym, kto zrobił ile zadań i o ich stopniu trudności do zakończenia części korespondencyjnej. Przypominam, że poważne naruszenie tych zaleceń skutkować będzie banem.

Życzę wszystkim powodzenia!

JK

[Mruczek]

Zadanie nr 2 z rachunku prawdopodobieństwa, nie do wiary...

[bakala12]

Jak co roku życzę wszystkim uczestnikom powodzenia, a wszystkim sympatykom (w tym uczestnikom) frajdy z rozwiązywania zadanek.

Do boju!

[k221]

Mam takie pytanko do treści zadania 4 (może głupie ale warto się upewnić). Treść brzmi tak:
"Niech t będzie liczbą z przedziału (0,1). Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b zachodzi nierówność"
więc chodzi o to że weźmiemy dowolne 2 liczby rzeczywiste a,b i istnieje takie t w danym przedziale które to spełnia, czy wszystkie t z danego przedziału to spełniają dla dowolnych dwóch liczb?

[mint18]

Bierzemy dowolne \(\displaystyle{ a\in \RR}\), dowolne \(\displaystyle{ b\in \RR}\), dowolne \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\) i trzeba pokazać, że niezależnie co wybierzemy to ta nierówność będzie spełniona.

Np. w zadaniu 8 najpierw wybieramy \(\displaystyle{ a,b,c}\) - a dopiero potem \(\displaystyle{ n}\).

[Piter115]

Dzień dobry!
Ponieważ pierwszy raz biorę udział w OM, to chciałem zadać pytanie ile (wiem, że to zależy od trudności zadań) mniej więcej zadań trzeba zrobić żeby mieć szanse dostać się do okręgu?
Dziękuję

[dec1]

6-7

[Wiesiek7]

Jak jesteś z Torunia to nawet mniej

[Ignik]

Mam pytanie odnośnie treści zadania 5 - czy \(\displaystyle{ d}\) to liczba dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\)? Bo nie rozumiem do końca kontekstu.

[Piter115]

dec1, Wiesiek7,
dziękuję za odpowiedź.

[bakala12]

Mam pytanie odnośnie treści zadania 5 - czy \(\displaystyle{ d}\) to liczba dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\)? Bo nie rozumiem do końca kontekstu.

Nie, \(\displaystyle{ d}\) oznacza jakiś dzielnik, konkretny. Masz pokazać, że takich konkretnych dzielników spełniających zadany warunek istnieje określona ilość. To tylko oznaczenie, tak aby można było przedstawić sensownie warunek jaki poszukiwane dzielniki spełniają.

[Ceulen]

Zna ktoś wykaz progów z poprzednich lat dla okręgu warszawskiego?

[aga150]

Ktoś ma 4 zadanie?

[matmatmm]

pierwsze:    

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{a^2+ab+b^2}=\frac{b+c}{b^2+bc+c^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2-b^2}{a^3-b^3}=\frac{b^2-c^2}{b^3-c^3}}\)

\(\displaystyle{ a^2b^3-a^2c^3-b^5+b^2c^3=b^2a^3-b^5-c^2a^3+c^2b^3}\)

\(\displaystyle{ c^2a^3-c^2b^3-a^5+a^2b^3=a^2c^3-a^5-b^2c^3+b^2a^3}\)

\(\displaystyle{ c^2(a^3-b^3)-a^2(a^3-b^3)=a^2(c^3-a^3)-b^2(c^3-a^3)}\)

\(\displaystyle{ (c^2-a^2)(a^3-b^3)=(a^2-b^2)(c^3-a^3)}\)

\(\displaystyle{ \frac{c^2-a^2}{c^3-a^3}=\frac{a^2-b^2}{a^3-b^3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{c+a}{c^2+ca+a^2}=\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}}\)

drugie:    

\(\displaystyle{ n}\)- liczba kul z liczbą parzystą
\(\displaystyle{ m}\) - liczba kul z liczbą nieparzystą

Prawdopodobieństwo uzyskania parzystej sumy:

\(\displaystyle{ \frac{n}{2017}\cdot\frac{n}{2017}+\frac{m}{2017}\cdot\frac{m}{2017}=\frac{n^2+m^2}{2017^2}\ge\frac{(n+m)^2}{2\cdot 2017^2}=\frac{1}{2}}\)

, przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ m=n}\), co jest niemożliwe.

trzecie:    

Czworokąty \(\displaystyle{ MBDP, AMQE}\) są równoległobokami, gdyż \(\displaystyle{ MP||BD, AE||MQ}\) oraz \(\displaystyle{ PM=BD, AE=MQ}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ PD||AB||EQ}\) oraz \(\displaystyle{ PD=MB=AM=EQ}\). Zatem czworokąt \(\displaystyle{ PDQE}\) jest równoległobokiem i jego przekątne przecinają się w połowie.