LXVIII (68) OM - I etap
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
LXVIII (68) OM - I etap
Tu był ordynarny blef xDD.
Ostatnio zmieniony 7 gru 2016, o 13:11 przez Pinionrzek, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
LXVIII (68) OM - I etap
Cóż. To zadanie było dziwne i ostatecznie go nie wysłałem; znalazłem jednak rozwiązanie choć nie potrafiłem go udowodnić:
Znalazłem to wszystko na ostatnią chwilę i nie pykło :f mimo to spodobało mi się
Ukryta treść:
LXVIII (68) OM - I etap
Moje rozwiązanie 9:
Nie do końca mi się podoba, bo jest trochę wyciągnięte z nikąd (z długiego patrzenia na liczby spełniające równanie)
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 15:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 3 razy
LXVIII (68) OM - I etap
I o takie patrzenie, dostrzeganie, stawianie śmiałych tez (i ich dowodzenie) chodzi w OMce. Choć juz mam juz OMkę za sobą, to z sentymentu co roku mierze się z zadaniami. Mam identyczne z Twoim rozwiązanie i mi sprawiło ono całkiem sporą przyjemność. To zadanie jest całkiem zgrabne - podobnie jak i 12., które niestety rozwiązałem "studenckim" sposobem (co uważam za przejaw mego lenistwa).11896 pisze:Moje rozwiązanie 9:Nie do końca mi się podoba, bo jest trochę wyciągnięte z nikąd (z długiego patrzenia na liczby spełniające równanie)Ukryta treść:
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
LXVIII (68) OM - I etap
Tak na marginesie całkiem od niechcenia, żeby pocieszyć oko:
\(\displaystyle{ a= \mp \frac{(3-2 \sqrt{2})^n+(3+2 \sqrt{2})^n}{2}}\)
\(\displaystyle{ b= \pm \sqrt{2}\frac{(3-2 \sqrt{2})^n-(3+2 \sqrt{2})^n}{4}}\)
\(\displaystyle{ a= \mp \frac{(3-2 \sqrt{2})^n+(3+2 \sqrt{2})^n}{2}}\)
\(\displaystyle{ b= \pm \sqrt{2}\frac{(3-2 \sqrt{2})^n-(3+2 \sqrt{2})^n}{4}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 9 lip 2016, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 14 razy
LXVIII (68) OM - I etap
ale jak to? może przecież mieć nieskończenie wiele rozwiązań, a \(\displaystyle{ z^{2}+2t ^{2}}\)
nie musi sie rownać \(\displaystyle{ 70}\)
nie musi sie rownać \(\displaystyle{ 70}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 26 paź 2016, o 16:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 11 razy
LXVIII (68) OM - I etap
Nie musi równać się \(\displaystyle{ 70}\), ale musisz to wykazać, bo może też nie działać dla wszystkich następnych par liczb spełniających równanie Pella.
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 20 mar 2014, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
LXVIII (68) OM - I etap
Co dokładnie mówiło to twierdzenie? (bo trudno uwierzyć, że ogranicza się do \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)).TobiWan pisze:w ogóle 12 zadanie było dziwne, bo jest takie twierdzenie które mówi, że jak w tym równaniu \(\displaystyle{ \alpha}\) jest liczbą wymierną to równanie nie ma rozwiązan
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 9 lip 2016, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 14 razy
LXVIII (68) OM - I etap
Myślałem, że to oczywiste..Hayran pisze:Nie musi równać się \(\displaystyle{ 70}\), ale musisz to wykazać, bo może też nie działać dla wszystkich następnych par liczb spełniających równanie Pella.
-- 8 gru 2016, o 21:58 --
Co dokładnie mówiło to twierdzenie? (bo trudno uwierzyć, że ogranicza się do \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)).
Ostatnio zmieniony 8 gru 2016, o 21:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 20 mar 2014, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
LXVIII (68) OM - I etap
Bynajmniej, twierdzenie tamto mówi jedynie, żeTobiWan pisze:
\(\displaystyle{ \tan \alpha \pi \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow \tan \alpha \pi \in \{-1, 0, 1\}}\)
natomiast \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wymierny nie jest.-
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
LXVIII (68) OM - I etap
12. Pokażę więcej:
Jeżeli \(\displaystyle{ \tan^2\alpha\pi\in\mathbb Q\setminus \left\{ 0,\frac13,1,3 \right\}}\) to \(\displaystyle{ \alpha\notin\mathbb Q}\).
Oczywiście tych \(\displaystyle{ 0,\frac13,1,3}\) nie można opuścić, bo
\(\displaystyle{ \tan^2\pi=0,\quad\tan^2\frac\pi6=\frac13,\quad\tan^2\frac\pi4=1,\quad\tan^2\frac\pi3=3}\)
A tak w ogóle to (prawie to samo, bo jeśli \(\displaystyle{ \tan\alpha\pi=\sqrt2}\), to \(\displaystyle{ \cos(1-2\alpha)\pi=\frac13}\)).
Jeżeli \(\displaystyle{ \tan^2\alpha\pi\in\mathbb Q\setminus \left\{ 0,\frac13,1,3 \right\}}\) to \(\displaystyle{ \alpha\notin\mathbb Q}\).
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ \tan^2\pi=0,\quad\tan^2\frac\pi6=\frac13,\quad\tan^2\frac\pi4=1,\quad\tan^2\frac\pi3=3}\)
A tak w ogóle to (prawie to samo, bo jeśli \(\displaystyle{ \tan\alpha\pi=\sqrt2}\), to \(\displaystyle{ \cos(1-2\alpha)\pi=\frac13}\)).