LXVIII (68) OM - I etap

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 392
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 62 razy

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: Pinionrzek » 7 gru 2016, o 02:00

Tu był ordynarny blef xDD.
Ostatnio zmieniony 7 gru 2016, o 13:11 przez Pinionrzek, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: PoweredDragon » 7 gru 2016, o 10:26

Cóż. To zadanie było dziwne i ostatecznie go nie wysłałem; znalazłem jednak rozwiązanie choć nie potrafiłem go udowodnić:
Ukryta treść:    
Znalazłem to wszystko na ostatnią chwilę i nie pykło :f mimo to spodobało mi się

11896
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 lis 2015, o 16:19
Płeć: Mężczyzna

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: 11896 » 7 gru 2016, o 17:41

Moje rozwiązanie 9:
Ukryta treść:    
Nie do końca mi się podoba, bo jest trochę wyciągnięte z nikąd (z długiego patrzenia na liczby spełniające równanie)

PiotrAH
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 27 paź 2015, o 15:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 3 razy

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: PiotrAH » 7 gru 2016, o 22:59

11896 pisze:Moje rozwiązanie 9:
Ukryta treść:    
Nie do końca mi się podoba, bo jest trochę wyciągnięte z nikąd (z długiego patrzenia na liczby spełniające równanie)
I o takie patrzenie, dostrzeganie, stawianie śmiałych tez (i ich dowodzenie) chodzi w OMce. Choć juz mam juz OMkę za sobą, to z sentymentu co roku mierze się z zadaniami. Mam identyczne z Twoim rozwiązanie i mi sprawiło ono całkiem sporą przyjemność. To zadanie jest całkiem zgrabne - podobnie jak i 12., które niestety rozwiązałem "studenckim" sposobem (co uważam za przejaw mego lenistwa).

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3830
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 376 razy

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: arek1357 » 8 gru 2016, o 00:05

Tak na marginesie całkiem od niechcenia, żeby pocieszyć oko:

\(\displaystyle{ a= \mp \frac{(3-2 \sqrt{2})^n+(3+2 \sqrt{2})^n}{2}}\)

\(\displaystyle{ b= \pm \sqrt{2}\frac{(3-2 \sqrt{2})^n-(3+2 \sqrt{2})^n}{4}}\)

TobiWan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 9 lip 2016, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 14 razy

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: TobiWan » 8 gru 2016, o 16:32

ale jak to? może przecież mieć nieskończenie wiele rozwiązań, a \(\displaystyle{ z^{2}+2t ^{2}}\)
nie musi sie rownać \(\displaystyle{ 70}\)

Hayran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 144
Rejestracja: 26 paź 2016, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 11 razy

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: Hayran » 8 gru 2016, o 17:00

Nie musi równać się \(\displaystyle{ 70}\), ale musisz to wykazać, bo może też nie działać dla wszystkich następnych par liczb spełniających równanie Pella.

enedil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 20 mar 2014, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: enedil » 8 gru 2016, o 18:08

TobiWan pisze:w ogóle 12 zadanie było dziwne, bo jest takie twierdzenie które mówi, że jak w tym równaniu \(\displaystyle{ \alpha}\) jest liczbą wymierną to równanie nie ma rozwiązan
Co dokładnie mówiło to twierdzenie? (bo trudno uwierzyć, że ogranicza się do \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)).

TobiWan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 9 lip 2016, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 14 razy

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: TobiWan » 8 gru 2016, o 20:55

Hayran pisze:Nie musi równać się \(\displaystyle{ 70}\), ale musisz to wykazać, bo może też nie działać dla wszystkich następnych par liczb spełniających równanie Pella.
Myślałem, że to oczywiste..

-- 8 gru 2016, o 21:58 --
Co dokładnie mówiło to twierdzenie? (bo trudno uwierzyć, że ogranicza się do \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)).
http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/tanpap.pdf
Ostatnio zmieniony 8 gru 2016, o 21:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

enedil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 20 mar 2014, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: enedil » 9 gru 2016, o 12:26

Bynajmniej, twierdzenie tamto mówi jedynie, że
\(\displaystyle{ \tan \alpha \pi \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow \tan \alpha \pi \in \{-1, 0, 1\}}\)
natomiast \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wymierny nie jest.

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: andkom » 10 sty 2017, o 22:07

12. Pokażę więcej:
Jeżeli \(\displaystyle{ \tan^2\alpha\pi\in\mathbb Q\setminus \left\{ 0,\frac13,1,3 \right\}}\) to \(\displaystyle{ \alpha\notin\mathbb Q}\).
Ukryta treść:    
Oczywiście tych \(\displaystyle{ 0,\frac13,1,3}\) nie można opuścić, bo
\(\displaystyle{ \tan^2\pi=0,\quad\tan^2\frac\pi6=\frac13,\quad\tan^2\frac\pi4=1,\quad\tan^2\frac\pi3=3}\)

A tak w ogóle to http://archom.ptm.org.pl/?q=node/1064 (prawie to samo, bo jeśli \(\displaystyle{ \tan\alpha\pi=\sqrt2}\), to \(\displaystyle{ \cos(1-2\alpha)\pi=\frac13}\)).

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: WolfusA » 3 lut 2019, o 10:58

W takim razie gdzie konkretnie w dowodzie korzystamy z założenia \(\displaystyle{ \tan^2\alpha\pi\neq 0,\frac13,1,3}\)

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1524
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 425 razy

Re: LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: timon92 » 3 lut 2019, o 17:44

WolfusA, na samym początku, gdy stwierdzamy, że \(\displaystyle{ 2\cos 2\alpha \pi}\) jest niecałkowitą liczbą wymierną

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: LXVIII (68) OM - I etap

Post autor: WolfusA » 3 lut 2019, o 17:46

Dzięki wielkie, już to widzę.

ODPOWIEDZ