Ukryta treść:
Kluczem do rozwiązania jest następujący, elementarny fakt. Jeśli wielomian \(\displaystyle{ P}\) o najstarszym współczynniku dodatnim ma większy stopień niż wielomian \(\displaystyle{ Q}\), to dla wszystkich odpowiednio dużych \(\displaystyle{ x}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ P(x)>|Q(x)|}\).
Niech \(\displaystyle{ f(n)=n^3+an^2+bn+c}\) oraz
W takim razie \(\displaystyle{ f(n)=n^2(n+a)}\) i bez trudu znajdziemy liczbę \(\displaystyle{ n}\), dla której \(\displaystyle{ n+a}\), a zatem również \(\displaystyle{ f(n)}\), nie jest kwadratem.
Niech \(\displaystyle{ f(n)=n^3+an^2+bn+c}\) oraz
\(\displaystyle{ g(m)=f(m^2-a) = (m^3-am)^2+bm^2-ab+c.}\)
Krótki rachunek pokazuje, że na mocy faktu, dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ m}\), zachodzą nierówności\(\displaystyle{ (m^3-am-1)^2 < g(m) < (m^3-am+1)^2.}\)
Przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że \(\displaystyle{ f(n)}\) jest kwadratem liczby całkowitej dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ n}\). Wobec tego \(\displaystyle{ g(m)=(m^3-am)^2}\) dla wszystkich odpowiednio dużych \(\displaystyle{ m}\). To prowadzi do wniosku, że wielomiany \(\displaystyle{ g(m)}\) i \(\displaystyle{ (m^3-am)^2}\) są równe, gdyż przyjmują jednakową wartość dla nieskończenie wielu argumentów. Porównując ich współczynniki, otrzymamy \(\displaystyle{ b=c=0}\).W takim razie \(\displaystyle{ f(n)=n^2(n+a)}\) i bez trudu znajdziemy liczbę \(\displaystyle{ n}\), dla której \(\displaystyle{ n+a}\), a zatem również \(\displaystyle{ f(n)}\), nie jest kwadratem.