LXVII (67) OM - finał

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
JanRaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 17 gru 2015, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mogilany

LXVII (67) OM - finał

Post autor: JanRaj »

Widzę, że nikt nie rozpoczął tematu, więc zacznę. Jak pierwszy dzień? Wrzuci ktoś zadanka?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

LXVII (67) OM - finał

Post autor: Vax »

\(\displaystyle{ 1}\). Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie ustaloną liczbą pierwszą. Znaleźć wszystkie nieujemne liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\), dla których wielomian

\(\displaystyle{ W(x) = x^4 - 2(n+p)x^2 + (n-p)^2}\)

może być zapisany w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych.

\(\displaystyle{ 2}\). Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) o środku \(\displaystyle{ I}\) wpisany w czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\) jest styczny do boku \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ M}\), a do boku \(\displaystyle{ CD}\) w punkcie \(\displaystyle{ N}\), przy czym \(\displaystyle{ \angle BAD + \angle ADC < 180^{\circ}}\). Na prostej \(\displaystyle{ MN}\) wybrano taki punkt \(\displaystyle{ K \neq M}\), że \(\displaystyle{ AK = AM}\). Dowieść, że prosta \(\displaystyle{ ID}\) przechodzi przez środek odcinka \(\displaystyle{ KN}\).

\(\displaystyle{ 3}\). Dane są dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Przez \(\displaystyle{ f(a, b)}\) oznaczamy liczbę takich \(\displaystyle{ a}\)-wyrazowych ciągów liczb całkowitych, że suma wartości bezwzględnych wyrazów ciągu nie przekracza \(\displaystyle{ b}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(a, b) = f(b, a)}\)

3:    
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

LXVII (67) OM - finał

Post autor: Swistak »

@Vax:
Ukryta treść:    
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

LXVII (67) OM - finał

Post autor: Pinionrzek »

Dzisiejsze zadania.
4. Niech \(\displaystyle{ k, \ n}\) będą liczbami nieparzystymi większymi od \(\displaystyle{ 1}\). Wykazać, że jeśli istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ k | 2^a+1}\) oraz \(\displaystyle{ n | 2^a-1}\), to wtedy nie istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ n | 2^b+1}\) oraz \(\displaystyle{ k | 2^b-1}\).
5. Dane są dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a<b}\). Dowieść, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ p, \ q, \ r, \s}\), że \(\displaystyle{ a< \frac{p}{q} < \frac{r}{s} < b}\) oraz \(\displaystyle{ p^2+q^2=r^2+s^2}\).
6. Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Prosta \(\displaystyle{ AI}\) przecina prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\) oraz okrąg opisany na \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ S \neq A}\). Punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \triangle DSB}\), a punkt \(\displaystyle{ L}\)- w \(\displaystyle{ \triangle DSC}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest odbiciem symetrycznym punktu \(\displaystyle{ I}\) względem prostej \(\displaystyle{ KL}\). Wykazać, że kąt \(\displaystyle{ BPC}\) jest prosty.
TomciO
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 289
Rejestracja: 16 paź 2004, o 23:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 38 razy

LXVII (67) OM - finał

Post autor: TomciO »

Zadanie 4.
Ukryta treść:    
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

LXVII (67) OM - finał

Post autor: Pinionrzek »

6.
Ukryta treść:    
3.
Ukryta treść:    
asdffdsa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 8 kwie 2016, o 09:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: dom

LXVII (67) OM - finał

Post autor: asdffdsa »

5.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

LXVII (67) OM - finał

Post autor: Ponewor »

asdffdsa pisze:Jaka jest firmówka?
Warta sześć punktów w przeciwieństwie do Twojego rozwiązania.
asdffdsa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 8 kwie 2016, o 09:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: dom

LXVII (67) OM - finał

Post autor: asdffdsa »

Cóż za niegrzeczna odpowiedź.

Olimpiada uznaje twierdzenie Mihailescu z 2002(kosmicznie trudne), ale nie uznaje twierdzenia Landau z 1908 (dowód wymaga minimalnej wiedzy z analitycznej teorii liczb) - jestem zaskoczona. Rozumiem, jak ktoś nie podaje nazwiska, ani źródła...

A jakbym to sprowadziła do prime number theorem, albo \(\displaystyle{ \sum_{p \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \infty}\) to już ok?
kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

LXVII (67) OM - finał

Post autor: kaszubki »

7 osób ma 36 punktów.

To jest jakieś nieporozumienie. Jeśli tyle dla Was znaczy, ludzie, takie zaangażowanie Jakuba Ochnika w olimpiadę, on poświęcił swoją edukację, pieniądze i wszystko inne, to Was nie powinno się szanować. Świstaki, Cieśle, komisje zadaniowe będą wam odbierały smak życia.
Tylko to się na tej olimpiadzie nadaje, powiedzieć Wam "niech drugi etap zdecyduje o IMO". A, szkoda gadać, szkoda strzępić ryja, naprawdę.
JanRaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 17 gru 2015, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mogilany

LXVII (67) OM - finał

Post autor: JanRaj »

To jaka ekipa na IMO?
kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

LXVII (67) OM - finał

Post autor: kaszubki »

Najlepsza.
michalkieza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 24 kwie 2015, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

LXVII (67) OM - finał

Post autor: michalkieza »

Kaszubki, trochę nie masz racji. Drugi etap bardzo często decydował o IMO (zdarzało się, że 5-7 miejsce miało tyle samo punktów i patrzyło się na drugi etap), więc nie należy go lekceważyć i na nim też należy walczyć o jak najlepszy wynik.

Natomiast w 100% zgadzam się, że komisja zadaniowa dała w tym roku ciała na finale i wręcz zaledwie 7 osób z maksem to tylko efekt tego, że paru mocnym uczestnikom podwinęła się noga, bo swobodnie mogło być i 10 (całe szczęście, że przynajmniej drugi etap różnicował ludzi, bo dopiero wtedy byłby problem z ekipą na IMO). Zadania były zdecydowanie za proste, bardzo standardowe (no poza 5), a przede wszystkim nie było ani jednego zadania z kategorii trudne. Podobno tę rolę miało pełnić 6, ale ono jest naprawdę proste i sztampowe (jeden trójliść, a potem rachunki na kątach) - zrobiło je 25-30 osób (na co najmniej 5pkt). Zbliżoną trudność miało 5, resztę zadań robiło już dużo więcej ludzi (1 i 2 to prawie wszyscy).
ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 12 razy

LXVII (67) OM - finał

Post autor: ElEski »

Gratki dla wszystkich finalistów, bo bycie w finale to już zwycięstwo!


Ja się pochwalę swoim skrótowym rozwiazaniem zadania 5, które w dużej części przyczyniło się do mojego wysokiego wyniku punktowego w tym roku
Ukryta treść:    
A geo wcale nie było takie łatwe, ja robiłem je 3.5h i nie udało mi się go pokonać mimo wielu sprytnych prób
kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

LXVII (67) OM - finał

Post autor: kaszubki »

michalkieza pisze:Kaszubki, trochę nie masz racji. Drugi etap bardzo często decydował o IMO (zdarzało się, że 5-7 miejsce miało tyle samo punktów i patrzyło się na drugi etap), więc nie należy go lekceważyć i na nim też należy walczyć o jak najlepszy wynik.

Natomiast w 100% zgadzam się, że komisja zadaniowa dała w tym roku ciała na finale i wręcz zaledwie 7 osób z maksem to tylko efekt tego, że paru mocnym uczestnikom podwinęła się noga, bo swobodnie mogło być i 10 (całe szczęście, że przynajmniej drugi etap różnicował ludzi, bo dopiero wtedy byłby problem z ekipą na IMO).
Być może mam złe podejście do tematu, ale to nie jest przypadkiem tak, że ekipę na IMO jest bardzo łatwo wybrać? Można przecież losować, nie trzeba będzie nawet finału przeprowadzać. Zresztą plotka głosi, że zadania w tym roku to był jakiś żart nie tylko pod kątem trudności: zadanie 1 to "utrudniona" wersja A3 z putnama 2001, zadanie 3 to explicite B4 z putnama 2005.

Niewątpliwie jeśli ułożenie 6 zadań na finał jest problemem, to nie ma sensu podejmować tematu TST.
(żeby nie było że prowadzę niekonstruktywną krytykę, to chętnie się zaangnażuję w komisję zadaniową)
ODPOWIEDZ