LXVII (67) OM - I etap

[wielkireturner]

to chyba nie wystarczy na 5 pkt?

Potrzeba dowieść, iż definicja z xorem jest jednakowa z definicją z zadania. Jeśli jest to tylko obserwacja, moim zdaniem 2 punkty to dużo.

A jak się to dowodziło?

[Pinionrzek]

No 12. da się zrobić na istotnie dwa różne sposoby. Pierwszy z nich opiera się na na wykazaniu, że płaszczyzna \(\displaystyle{ QKL}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ BS}\). Wynika to wprost z tego, że płaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych, tj.wewnętrzna i zewnętrzna są prostopadłe. Drugi sposób to właśnie ta elipsa, która gwarantuje nam, że punkty styczności sfery wpisanej i dopisanej są izogonalnie sprzężone. Dalsza część rozwiązania, to zwykłe zadanie z planimetrii.

[vvz]

wielkireturner, Mogłabym
Słyszałeś o grze nim? Polecam poczytać o tym co nieco np. tu /

Teraz rozpatrz to zadanie jakby to była gra nim na dwóch stosach i wykorzystaj twierdzenie Sprague’a-Grundy’ego.

[k24]

Ma ktoś 12?
Trochę na nim myślałem, ale wolałem się skupić na pozostałych.

11 - chyba najładniejsze z serii, po zauważeniu, że w każdym polu tabeli jest liczba będąca xorem bitowym numeru wiersza i kolumny.

Bardzo mnie zaciekawiłeś z tym xorem (jeśli się nie mylę to nazywa się to alternatywa wykluczająca, gdzieś też słyszałem że jak jest "i" oraz "lub" to to można nazwać "albo"), więc czy mógłby ktoś to rozwinąć?

[AndrzejK]

9.

Ukryta treść:    

Liczba z zadania jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^8-96 x^6+392 x^4-384 x^2+16 = 0}\) a użycie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych kończy zadanie.

[Pinionrzek]

Tu jest dowód

Kod: Zaznacz cały

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Nimber

, dlaczego xora możemy zdefiniować jako mex pewnej sumy zbiorów. Potem wystarczy zastosować banalną indukcję do tej tabelki i teza staje się równoważna temu, że \(\displaystyle{ n \oplus m =r \iff n \oplus r= m}\), co po xorowaniu obustronnie przez \(\displaystyle{ m, r}\) okazuje się być prawdą.

[wielkireturner]

Tu jest dowód

Kod: Zaznacz cały

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ni

, dlaczego xora możemy zdefiniować jako mex pewnej sumy zbiorów. Potem wystarczy zastosować banalną indukcję do tej tabelki i teza staje się równoważna temu, że \(\displaystyle{ n \oplus m =r \iff n \oplus r= m}\), co po xorowaniu obustronnie przez \(\displaystyle{ m, r}\) okazuje się być prawdą.

Sprawdź swój link, bo wychodzi bzdura.

[Ponewor]

Naprawdę pytanie się czy x zadań starczy na przejście jest warte ciachowania? Jak dla mnie to już przesada.

Tak, to jest już daleko idąca informacja o poziomie trudności zadań. Co więcej, jeśli \(\displaystyle{ x}\) byłoby duże, to mogłoby zniechęcać tych początkujących zawodników.

[gomoku123]

A zrobił ktoś 10 nie używając tych twierdzeń o tych kodach xor? A nawet ogólniej, czy da się to zrobić nie używając tych mało znanych twierdzeń(jak mi się wydaje)?

[regin]

Skoro już po zawodach to ja bardzo chętnie dołącze z pytaniem o prognozowany przez was próg punktowy w województwie śląskim Ze swojej perspektywy mogę dodać, że nie udało mi się ruszyć zadania z stereometrii oraz tabelki a ponadto zepsułem zadanie z funkcją:/ No a z tych, które rozwiązałem(oby dobrze;) stanowczo najdłuższy ale i najbardziej satysfakcjonujący był układ równań

[Michalinho]

Moje rozwiązania (11 nie robiłem):

9:    

\(\displaystyle{ \sqrt{10}-\sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{3}=(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{2}-1)}\). To jest wymierne jeśli \(\displaystyle{ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+1)=\sqrt{10}+\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{3}}\) jest wymierne. Więc \(\displaystyle{ \sqrt{10}+\sqrt{3}}\) musi być wymierne. Ale wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{10}-\sqrt{3}}\) też musi być wymierne, więc \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\) musiałoby być wymierne, a nie jest.

10:    

Przekształcamy równania do postaci:
\(\displaystyle{ \left( x_{i}+1 \right) \left( x_{i} -2 \right) ^{2} = x_{i}(x_{i+1}-x_{i})}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\)(przyjmujemy \(\displaystyle{ x_1=x_{n+1}}\)).

Jeżeli którykolwiek z wyrazów jest równy 2 to wszystkie są równe 2. Załóżmy, że wszystkie są różne od 2.
Niech \(\displaystyle{ x_k=max\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}, x_m=min\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}}\).

Jeśli \(\displaystyle{ x_k>-1}\), to z 1):
\(\displaystyle{ x_{k+1}>x_k}\), sprzeczność z wyborem \(\displaystyle{ x_k}\), a więc \(\displaystyle{ x_k\le -1}\).

Jeśli natomiast \(\displaystyle{ x_m<-1}\) to z 1):
\(\displaystyle{ x_{m+1}<x_m}\), również sprzeczność z określeniem \(\displaystyle{ x_m}\). Stąd \(\displaystyle{ x_m\ge -1}\).
Mamy więc taki ciąg nierówności:
\(\displaystyle{ x_k\le -1\le x_m\le x_k}\).
Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x_k=x_m=-1}\) z czego wynika \(\displaystyle{ x_i=-1}\), dla \(\displaystyle{ i=1,\ldots,n}\).

12:    

Z własności sfer Dandelina wiemy, że punkty styczności tych sfer z podstawą ostrosłupa są wierzchołkami elipsy, czyli są izogonalnie sprzężone. Teraz wystarczy udowodnić, że prosta przechodząca przez rzuty prostokątne punktu \(\displaystyle{ Q}\) na boki \(\displaystyle{ AB, BC}\) i prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ B}\) i punkt izogonalnie sprzężony do \(\displaystyle{ Q}\) są prostopadłe (teza wyniknie z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych). Wystarczy teraz zauważyć, że na \(\displaystyle{ QKLB}\) można opisać okrąg, więc \(\displaystyle{ \angle QBK=\angle QLK}\) a z izogonalnego sprzężenia \(\displaystyle{ \angle QBK=\angle PBL}\) (P izogonalnie sprzężony do \(\displaystyle{ Q}\)). Ramiona \(\displaystyle{ BL}\) i \(\displaystyle{ QL}\) są prostopadłe, więc \(\displaystyle{ LK}\) i \(\displaystyle{ BP}\) też.

Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem w przepisywaniu.

[Pinionrzek]

A zrobił ktoś 10 nie używając tych twierdzeń o tych kodach

Ja zrobiłem to na początku używając jedynie indukcji, ale było to niezbyt przyjemne do zapisania, bo trzeba się było babrać w jakichś indeksach.

[Dracon]

Nie jestem pewien swojego rozwiązania w 10, ale rozważałem ciąg liczbowy \(\displaystyle{ \left( x_{1},...,x _{n} \right)}\) i wyznaczyłem \(\displaystyle{ x _{k} - x _{k-1}}\) jako funkcję wymierną zmiennej \(\displaystyle{ x_{k-2}}\) (). Pokazałem sprzeczności dla sytuacji ciągu rosnącego i malejącego, więc ciąg musiał być stały, z czego łatwo wyszło że wszystkie wyrazy to 2 albo wszystkie to -1.
Zastanawia mnie tylko "śliskie" stwierdzenie, że \(\displaystyle{ Ciag \ jest \ malejacy \Leftrightarrow \forall _{t\in \left\{ 1,...,n\right\}} : x _{t} < (-1)}\) i analogiczne dla rosnącego.

Było to 1 z 8 zadań, które wysłałem, pozostałych 7 jestem pewien na 100% i tu moje pytanie, jak wyglądają moje szanse w okręgu krakowkim ?
I kiedy będą znane wyniki ? Na stronie nie znalazłem o tym informacji.

[Swistak]

wielkireturner, Mogłabym
Słyszałeś o grze nim? Polecam poczytać o tym co nieco np. tu /

Teraz rozpatrz to zadanie jakby to była gra nim na dwóch stosach i wykorzystaj twierdzenie Sprague’a-Grundy’ego.

O, ja tu sobie z nudów lurkuję mat.pl, a tu widzę polecenie poczytania mojego artykułu, miło .

Btw, co do zadania 11., to jak je zaczynałem czytać, to stwierdziłem, że za długa treść i stwierdziłem, że popatrzę na tabelkę i może prędzej zauważę jak została stworzona niż przeczytam opis. I istotnie po kilku sekundach stwierdziłem, że narysowali taką tabelkę, że \(\displaystyle{ A_{i, j} = i \oplus j}\), zatem mogłem przejść do przeczytania tezy, a tam, że \(\displaystyle{ A_{a, b} = c \Rightarrow A_{b, c} = a}\) no i se myślę "wtf, przecież to całkowicie jasne jak się ma te xory". No i się zreflektowałem do przeczytania opisu, bo stwierdziłem, że coś nie halo, a tam ten opis przez mexy xd. Nie podoba mi się takie zadanie jako zadanie na 1. etap, bo ewidentnie polega ono jedynie na znajomości co nieco zaawansowanej teorii (dla matematyków, dla algorytmików - absolutnie podstawowej), a co mi się zapewne najbardziej nie spodoba, to to że wzorcówka pewnie będzie udawać, że to wcale nie jest tak, że coś tu trzeba było znać tylko że niby to się dało wymyślić i nie trzeba znać żadnych twierdzeń, a tak naprawdę to przepiszą ich dowód .

[marcin7Cd]

pojawiły się już rozwiązania I etapu.