LXV (65) OM - finał

[Vax]

Jak wiadomo pojutrze odbędzie się już pierwszy dzień zawodów, więc to chyba dobra pora na założenie tematu Jak nastroje? No i standardowe już pytanie jaki zestaw obstawiacie?

[porfirion]

3 x syf + robialne stereo + harde plani + zaje harde kombi XD

[Logan123]

Oby jak najhardsze plani i stereo (skoro już musi się pojawić to niech przynajmniej mało osób zrobi ). Liczę na jakieś ładne dowiedzenie podzielności/liczby pierwsze albo coś w stylu 6 z drugiego etapu.

[Pinionrzek]

1. Łatwe równanie/układ równań.
2.Harda plani.
3. Ciężka teoria liczb.
4. Dość łatwe równanie funkcyjne.
5. Harda stereo.
6. Najhardsza ze wszystkiego kombi.

[Ponewor]

A weźcie przestańcie Mam teraz tak ujemną formę, że dowolny zestaw mnie rozłoży.

[Pinionrzek]

Powodzenia wszystkim jutro

[bakala12]

Ja również życzę powodzenia wszystkim. Chyba nie muszę przypominać, że będziemy niezmiernie wdzięczni jeśli ktoś wstawi zadania, zanim pojawią się na stronie

[Ponewor]

Ja jestem z kompem i jeśli jakiimś cudem fortuna się do mnie uśmiechnie i skończę wcześniej, to wklepię.

[bakala12]

Dziękuję, Ponewor. Zapewniam Cię, że 5 godzin to naprawdę dużo czasu żeby cokolwiek wymyślić Także jeszcze raz powodzenia życzę, owocnej rozkminy i przede wszystkim frajdy z robienia fajnych zadanek

[pawel98]

Dostałem zadania od jednego z uczestników, więc można się podzielić:
Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite \(\displaystyle{ k,n\geq 1}\). Na tablicy napisano w pewnej kolejności wszystkie dodatnie liczby całkowite nie przekraczające \(\displaystyle{ k+n}\). Ruch polega na zamianie miejscami dwóch liczb różniących się o \(\displaystyle{ k}\) lub \(\displaystyle{ n}\). Dowieść, że wykonać ciąg ruchów, który doprowadzi liczby do kolejności \(\displaystyle{ 1,2\ldots , n+k}\).
Zadanie 2. Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ k\geq 2}\), \(\displaystyle{ n\geq 1}\) oraz liczby całkowite \(\displaystyle{ a_1,a_2,\ldots a_k, b_1,b_2,\ldots ,b_n}\), że \(\displaystyle{ 1<a_1<a_2<\ldots < a_k<b_1<b_2\ldots<b_n}\). Wykazać, że jeżeli

\(\displaystyle{ a_1+a_2+\ldots a_k}\),

to

\(\displaystyle{ a_1a_2\cdots a_k=b_1b_2\cdots b_n.}\)

Zadanie 3. Czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\) o ścianach ostrokątnych jest wpisany w sferę o środku w \(\displaystyle{ O}\). Prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ O}\) i prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ ABC}\) przecina daną sferę w punkcie \(\displaystyle{ D'}\) leżącym po przeciwnej stronie płaszczyzny \(\displaystyle{ ABC}\) niż punkt \(\displaystyle{ D}\). Prosta \(\displaystyle{ DD'}\) przecina płaszczyznę \(\displaystyle{ ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\) leżącym wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ \angle APB = 2\angle ACB}\), to \(\displaystyle{ \angle ADD'= \angle BDD'}\).

[Ponewor]

Dopiero teraz mogę pisać:
1. Mamy względnie pierwsze \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\) całkowite dodatnie oraz wypisane na tablicy kolejne liczby całkowite od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n+k}\) w pewnej kolejności. Udowodnić, że możemy te liczby uporządkować rosnąco jeśli możemy jedynie zamieniać miejscami dwie liczby różniące się o \(\displaystyle{ n}\) lub \(\displaystyle{ k}\).

2. Mamy jakieś liczby całkowite takie, że \(\displaystyle{ 1 < a_{1} < a_{2} < \ldots < a_{k} < b_{1} < b_{2} < \ldots < b_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \ge 2}\) i \(\displaystyle{ n \ge 1}\), takie, że
\(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+\ldots a_{k} > b_{1}+b_{2}+\ldots + b_{n}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ a_{1}a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{k} > b_{1}b_{2} \cdot \ldots \cdot b_{n}}\)

3. Mamy czworościan którego ściany są ostrokątne \(\displaystyle{ ABCD}\) i sferę na nim opisaną o środku w \(\displaystyle{ O}\). Prosta przez \(\displaystyle{ O}\) prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ ABC}\) tnie sferę w \(\displaystyle{ D'}\). Prosta \(\displaystyle{ DD'}\) tnie płaszczyznę \(\displaystyle{ ABC}\) w \(\displaystyle{ P}\). Pokazać \(\displaystyle{ \measuredangle APB = 2 \measuredangle ACB \Rightarrow \measuredangle ADD' = \measuredangle BDD'}\)

[diana7]

3.

Ukryta treść:    

Zaznaczamy przez \(\displaystyle{ B'}\)punkt przecięcia \(\displaystyle{ AP}\) i tej sfery. Wtedy \(\displaystyle{ D'B=D'B'}\). Liczymy sobie kąty i mamy \(\displaystyle{ PB=PB'}\), skąd wynika rownież, że \(\displaystyle{ DB=DB'}\) (możemy to prosto udowodnić rzutując punkty \(\displaystyle{ D, D'}\) na \(\displaystyle{ BB'P}\)). Czyli \(\displaystyle{ \Delta DD'B' \equiv \Delta DD'B}\), ponadto punkty \(\displaystyle{ A,D,B',D'}\) leżą na jednym okręgu, oraz \(\displaystyle{ AD'=D'B'}\), skąd prosto wynika teza.

[pawel98]

Tak, zdaję sobie sprawę, że to rozwiazanie to syf i pewnie jest kilka ładniejszych, jednakże to pierwsze co mi przyszło do głowy i jak wymyślę coś lepszego to napiszę. Mam nadzieję, że to rozwiązanie jest w miarę przejrzyste i nie zawiera większych błędów, bo pisałem na szybko.

Zadanie 1.:    

Udowodnię na początek pewien lemat:
Lemat: Przy warunkach zadanych w treści zadania możemy w trakcie skończonej ilości ruchów zamienić dowolne dwie liczby miejscami, nie zmieniając przy tym kolejności pozostałych liczb.
Dowód: Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) (\(\displaystyle{ a<b}\)) będą liczbami, które chcemy zamienić miejscami. Z warunku względnej pierwszości liczb \(\displaystyle{ k,n}\), na mocy twierdzenia Bezouta istnieją takie liczby całkowite x,y, że \(\displaystyle{ |x|+|y|<k+n}\) oraz:

\(\displaystyle{ kx+ny=b-a.}\)

Wobec tego, możemy znaleźć \(\displaystyle{ l=|x|+|y|}\) elementowy ciąg \(\displaystyle{ (\alpha _1, \alpha _2,\ldots , \alpha _{l})}\) taki, że \(\displaystyle{ \alpha_1=a}\), \(\displaystyle{ \alpha _l=b}\), oraz \(\displaystyle{ |\alpha _{i+1}-\alpha _i|=k,n}\). Pokażemy, że wykonując ruchy tylko na tym ciągu, możemy spełnić tezę postawioną w lemacie.
Udowodnimy wpierw, że liczbę \(\displaystyle{ a}\) możemy wstawić w miejsce liczby \(\displaystyle{ b}\). Gdy l=2, dowód jest trywialny. Załóżmy więc, że dla pewnego \(\displaystyle{ l_0}\) i każdego \(\displaystyle{ l\leq l_0}\) teza zachodzi. Rozważmy sytuację gdy \(\displaystyle{ l=l_0+1}\). Z założenia indukcyjnego, biorąc\(\displaystyle{ (\alpha _2, \alpha _3,\ldots , \alpha _l)}\), po skończonej ilości ruchów liczbę \(\displaystyle{ \alpha _2}\) możemy przenieść na miejsce liczby \(\displaystyle{ \alpha _l}\). A ponieważ \(\displaystyle{ |\alpha _2-\alpha_1|=k,n}\), to je również możemy zamienić miejscami w dowolnym momencie, zatem możemy przenieść liczbę \(\displaystyle{ \alpha _1}\) na miejsce \(\displaystyle{ \alpha _l}\).
Korzystając z ruchów w obrębie ciągu \(\displaystyle{ \alpha _1, \alpha _2,\ldots ,\alpha _l}\) zamienialiśmy miejscami tylko elementy z tego ciągu, pozostałe liczby pozostawały na swoich miejscach. Po przeniesieniu liczby \(\displaystyle{ \alpha_1}\) na miejsce \(\displaystyle{ \alpha _l}\), na pierwotnym miejscu \(\displaystyle{ \alpha _1}\) znalazła się liczba \(\displaystyle{ \alpha _2}\). Biorąc ciąg \(\displaystyle{ (\alpha _2, \alpha _3, \ldots , \alpha_l)}\) możemy zamienić \(\displaystyle{ \alpha l}\) z [alpha _2] miejscami, czyli w rezultacie przenieść \(\displaystyle{ \alpha _l}\) na miejsce pierwotne \(\displaystyle{ \alpha _1}\). Zatem uzyskaliśmy ostateczną zamianę miejscami liczb \(\displaystyle{ \alpha _1}\) i \(\displaystyle{ \alpha _l}\) czyli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). W wyniku tych operacji przepermutowany został ciąg \(\displaystyle{ \alpha _2, \alpha _3,\ldots \alpha _{l-1}}\), jednakże korzystając z poprzednich wniosków trywialnym jest dowód, że możemy go uporządkować w sposób taki, by był w tej samej kolejności co na początku (ewentualny dowód tego prostego faktu może później dopiszę, ale nie chce mi się a jest banalny ), co kończy dowód lematu. \(\displaystyle{ \qed}\).

Teraz przelatujemy przez cały zbiór zadanych liczb i sprawdzamy czy każda liczba \(\displaystyle{ i}\) siedzi na \(\displaystyle{ i}\) - tej pozycji. jeśli tak, zostawiamy ją. Jeśli nie, zamieniamy ją z liczbą, która siedzi na \(\displaystyle{ i}\)-tej pozycji tak, że pozostałe liczby w wyniku tych ruchów pozycji nie zmienią (lemat). Postepując tak z wszystkimi liczbami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ k+n}\) widzimy, że na końcu uzyskamy odpowiednio posortowany ciąg.

Zadanie 3.:    

Rozważmy płaszczyznę \(\displaystyle{ ABC}\). Jasne jest, że \(\displaystyle{ OA=OB=OC}\). Wobec tego, jak przez \(\displaystyle{ O'}\) nazwiemy rzut prostokątny \(\displaystyle{ O}\) na \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), to \(\displaystyle{ O'A=O'B=O'C}\) czyli \(\displaystyle{ O'}\) jest środkiem okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Tym samym zachodzi równość \(\displaystyle{ \angle AO'C=2\angle ACB}\) i na mocy założenia \(\displaystyle{ \angle APC=2\angle ACB}\), czwórka \(\displaystyle{ A,B,O',P}\) jest cykliczna. Niech prosta \(\displaystyle{ AP}\) przecina okrąg opisany na \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) w \(\displaystyle{ Q}\). Jasne, że \(\displaystyle{ \angle AQB=\angle ACB}\), zaś \(\displaystyle{ \angle QPB=\pi - \angle APB=\pi - 2\angle ACB}\). Stąd \(\displaystyle{ \angle PQB = \angle PBQ}\) czyli \(\displaystyle{ PQ=PB}\) i \(\displaystyle{ QD'=QB}\) Ponadto, łatwo zauważyć, że prosta \(\displaystyle{ PO}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ QPB}\), czyli \(\displaystyle{ Q,B}\) są symetryczne względem \(\displaystyle{ PO}\). Co więcej, są symetryczne względem płaszczyzny \(\displaystyle{ POD'}\) w której jest też zawarty punkt \(\displaystyle{ D}\). Zatem obrazem trójkąta \(\displaystyle{ DBD'}\)
w symetrii względem płaszczyzny \(\displaystyle{ POD'}\) jest trójkąt \(\displaystyle{ DQD'}\). Z własności symetrii wnioskujemy, że \(\displaystyle{ \triangle DQD'\equiv \triangle DBD'}\). Ponieważ prosta \(\displaystyle{ DP}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle ADQ}\) to \(\displaystyle{ \angle ADD'=\angle QDD'=\angle BDD'}\), gdzie ostatnia równość zachodzi z przystawania. Wobec tego \(\displaystyle{ \angle ADD'=\angle BDD'}\), co należało pokazać.

[Marcinek665]

Ktoś sklepał drugie? Bo nie umiem

[pawel98]

Ktoś w ogóle zna jakieś statystyki kto ile zrobił?? Jakoś tak cicho jak na finał OMa