Michalinho pisze:To co mówicie to bzdury, bo są takie zadania, że za Chiny nie wiem z której strony ruszyć [...]
Kwestia treningu. Wystarczy solidnie przerobić KMDO + Pompe + porządny podręcznik z LO (np. Pawłowskiego) i spokojnie każde zadanie da się zrobić. A to czy da się coś ruszyć czy nie to kwestia wpadnięcia na pomysł - im więcej tego typu zadań zrobisz, tym szybciej na taki pomysł wpadniesz.
Z takich rzeczy, które wg mnie są przydatne na OMie (do zawodów okręgowych) to:
1. Teoria liczb :
Małe Twierdzenie Fermata, Twierdzenie Eulera
Własności sumy cyfr (np. że \(\displaystyle{ S(n) \equiv n \pmod{9}}\)), znać wzorki na sumę dzielników, liczbę dzielników.
Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze i rzeczy z tym związane
Kongruencje, wyznaczanie reszt z dzielenia itd.
2. Geometria :
Podobieństwa, przystawanie trójkątów
Liczenie po kątach, kąty wpisane, dopisane, opisane na tym samym łuku itd.
Twierdzenie o dwusiecznej, Cevy, Menelaosa, Pitagorasa, Talesa
Związki miarowe w trójkącie i czworokącie
Sinusy, cosinusy (naprawdę dużo zadań można zrobić wspomagając się trygonometrią)
Ewentualnie potęga punktu, osie potęgowe
Reszta to rzeczy, które są w KMDO i naprawdę więcej nie trzeba, żeby trzaskać zadania drugoetapowe, a nawet z finału.
Ok, dzięki wiedzmac za podzielenie się swoją opinią.
Marcinek665 pisze:
Jak to nie masz? A po co piszesz na tym forum?
Tylu tutaj IMOwców, zwycięzców OMa, że na pewno jeśli tylko napiszesz jakiś temat, to pojawi się szybciutko odpowiedź.
Tylko to trochę co innego znać kogoś na żywo z kim się możesz powymieniać wiedzą, doświadczeniem albo opiniami . Takie coś mocno napędza i skłania do większego zaangażowania.
szw1710 pisze:
Michalinho pisze:To co mówicie to bzdury, bo są takie zadania, że za Chiny nie wiem z której strony ruszyć [...]
W tym 65-2-6 przydaje się wprawa w właśnie takim szacowaniu zbiorów przez wskazywanie funkcji.
Np.:
Jeśli potrafimy wskazać różnowartościową \(\displaystyle{ f : A \longrightarrow B}\) i \(\displaystyle{ A}\) jest skończony, to \(\displaystyle{ |B| \ge |A|}\)
Gdy \(\displaystyle{ f}\) jest "na", zachodzi nierówność w drugą stronę.
Idee większości rozwiązań są dwie:
- Zamiast szacować dobre, szacujmy niedobre. To to samo, a wygląda jakoś przyjaźniej: jeśli mamy \(\displaystyle{ d}\) dobrych i \(\displaystyle{ nd}\) niedobrych, to oczywiście \(\displaystyle{ d - 0.99 \cdot 10^{12} = 0.01 \cdot 10^{12} - nd}\), ale już \(\displaystyle{ \frac{d}{0.99 \cdot 10^{12}} < < \frac{0.01 \cdot 10^{12}}{nd}}\), a to ma na ogół znaczenie przy zliczaniu, bo częściej gubi się "co drugi" element, niż stałą liczbę elementów.
- Znajdźmy zbiór, w który można różnowartościowo odwzorować zbiór liczb niedobrych (oznaczmy go \(\displaystyle{ A}\)), a następnie łatwo oszacować od góry liczbę jego elementów.
Tutaj właśnie w najprostszym rozwiązaniu wchodzi zbiór \(\displaystyle{ B=\{(a,b) : a^{2} b^{3} \le 10^{12}\}}\). Oczywiście, liczbie \(\displaystyle{ n}\) staramy się przypisać \(\displaystyle{ f(n) = (a,b) : a^{2} b^{3} = n}\). Łatwo zobaczyć, że każde \(\displaystyle{ n \in A}\) jest takiej postaci.
Niestety, \(\displaystyle{ n \in A}\) może mieć wiele postaci \(\displaystyle{ a^{2} b^{3}}\). Na ogół nie robi to problemu i tutaj też nie - można bowiem dla każdej liczby wybrać "unikalną" postać: definiujemy \(\displaystyle{ b}\) w \(\displaystyle{ f(n) = (a,b)}\) jako iloczyn liczb pierwszych dzielących \(\displaystyle{ n}\) w nieparzystej potędze, zaś \(\displaystyle{ a}\) jako "resztę". Łatwo zobaczyć, że dwa różne argumenty generują różne pary-wyniki.
Tak zdefiniowana \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa i z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ |A| \le |B|}\). Jak teraz zliczyć/oszacować od góry \(\displaystyle{ |B|}\)? Najprościej zauważyć, że zawsze \(\displaystyle{ a \le 10^6}\) i \(\displaystyle{ b \le 10^4}\). Wszystkich takich par jest \(\displaystyle{ 10^{10}}\), a \(\displaystyle{ B}\) to tylko niektóre z nich, więc \(\displaystyle{ |B| \le 10^{10} = 0.01 \cdot 10^{12}}\). Czyli \(\displaystyle{ |A| \le 0.01 \cdot 10^{12}}\), czyli teza.
Nie wiem, czy wyjaśniłem wystarczająco jasno, o co tu chodzi - idea jest dość standardowa: żeby zacząć szukać funkcji różnowartościowej* w jakiś łatwo szacowalny zbiór. To \(\displaystyle{ a^{2} b^{3}}\) niekoniecznie się natychmiast nasuwa, ale gdy się wie, czego się szuka, na pewno jest łatwiej.
Podobnym zadaniem było chyba 64-1-12 i chyba jakieś z ligi zadaniowej obozu OMG (na stronie OMG są takie zadanka). WIdać, że jest moda na zadania w tym stylu.
* - wzorcówka jest trudniejsza, ale tak zawsze jest - chyba KGOM się stara, by te wzorcówki były jak najbardziej kształcące. I tym razem im się udało. We wzorcówce bowiem funkcja nie jest różnowartościowa, ale każdy element przeciwdziedziny przyjmuje maksymalnie \(\displaystyle{ 128}\) wartości. To takie uogólnienie idei. Jak ktoś wpadnie na to, że liczb w rozkładzie nie jest zbyt dużo w przypadku liczb ograniczonych przez \(\displaystyle{ 10^{12}}\), i jest trochę biegły w takich szacowaniach przez wskazywanie "odwzorowań" (albo ma dużo czasu i cierpliwości), to ma szansę wpaść na wzorcówkę.
