LXIV (64) OM - finał

[Ponewor]

Mam trzy pytania: 1. Czy to nie dziś był finał? 2. Dlaczego więc nie pojawiły się tu jeszcze zadania? 3. Czy jeśli to możliwe, mógłby się ktoś podzielić treścią owych zadań?

[Marcinek665]

Zadanka już lecą. Nikt nie wrzucił, bo jest ponoć bardzo słabo z netem. Takie dostałem smsem:

Zadanie 1.

Rozwiązać w całkowitych równanie \(\displaystyle{ x^4 + y = x^3 + y^2}\).

Zadanie 2.

Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ 6a|3+a+b^2}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ a<0}\).

Zadanie 3.

W czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) da się wpisać okrąg. Odcinki \(\displaystyle{ AB,BC,CD,DA}\) są średnicami odpowiednio okręgów \(\displaystyle{ o_1,o_2,o_3,o_4}\). Udowodnić, że istnieje okrąg styczny do każdego z okręgów \(\displaystyle{ o_1,o_2,o_3,o_4}\).

[Ponewor]

[hide="ARCYPrzedziwne rozwiązanie zadania 2., trąci moim haniebnym błędem]Otóż udowodnię, że takie liczby nie istnieją. Załóżmy, że istnieją takie, że taka podzielność zachodzi, a zatem istnieje takie całkowite \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ a+b^{2}+3=6ka \Leftrightarrow b^{2}+3=\left( 6k-1\right)a}\)
Udowodnimy, że \(\displaystyle{ 6k-1}\), ma dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 6l-1}\). Załóżmy, że nie ma. Ponieważ jest to liczba nieparzysta, niepodzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), to ma dzielniki pierwsze postaci \(\displaystyle{ 6l+1}\), a jak będziemy mnożyć tą jedynkę w kongruencji to nijak nie wyjdzie \(\displaystyle{ 6k-1}\). Jest więc liczba pierwsza \(\displaystyle{ p=6l-1}\), która dzieli \(\displaystyle{ 6k-1}\), więc dzieli i \(\displaystyle{ b^{2}+3}\). Zachodzi więc \(\displaystyle{ b^{2} \equiv -3 \pmod{p}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ p \equiv 2 \pmod{3}}\), to sprzeczność na mocy lematu. Skoro więc poprzednik implikacji jest fałszywy, to implikacja jest prawdziwa.[/hide]

[Swistak]

2:    

\(\displaystyle{ b^2+3=(6k-1)a}\), ale jak \(\displaystyle{ a>0}\), to i \(\displaystyle{ 6k-1>0}\), ale takie liczby mają dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 3l+2}\), ale jeżeli \(\displaystyle{ p=3l+2}\), to \(\displaystyle{ (\frac{-3}{p})=-1}\).
Fatalne zadanie na finał, jak ktoś zna teorię stojącą za resztami kwadratowymi, to lajt, a jak nie, to powodzenia

[Swistak]

Hm, nie rozumiem, czemu ma być niby takie ARCYMADAFAKAPRZEDZIWNE, przecież jest absolutnie normalne. Zamieściłem identyczne w drugim temacie, bo nie spodziewałem się, że alternatywne rozwiązanie może być w temacie o II etapie .

[Ponewor]

o widzę, że byłem blisko, ale jakąś smętną głupotkę popełniłem

[Panda]

Dokładnie - pierwsze zadanie z OMa o jakim mi wiadomo, że jakaś hardsza teoria tak bardzo różnicuje wyniki (nikt nie zrobił 2. inaczej, niż to rozwiązanie podane przez Ponewora, wzorcówka jest oczywiście "normalna"). Ale teraz wiem, że z podobną teorią z finału 61OM było podobnie...

Trzecie z parę osób ma, być może tylko jedna. Dość nietypowa geometria.

Chyba tylko jeden komplet.

[Ponewor]

Co to ma być, to zadanie drugie: łatwe zadanie na zastosowanie teorii, czyli coś co totalnie rozmija się z ideą OM.

[Panda]

Wzorcowe do drugiego faktycznie jest ładne (ale trudne do wpadnięcia), więc pan Kuczma mówił, że zadanie jest jak najbardziej zgodne z ideą. Ale problem leży głównie w tym, że znajomość Leżandra różnicuje wyniki.

[Swistak]

No świetnie, nie da się ukryć, że prawo wzajemności reszt kwadratowych jest ładne i można je elementarnie ładnie dowieść, ale no plis . Nawet jeżeli można jakoś bez niego dowieść ten główny lemat, no to co z tego ; d?
A co do 61-3-5, to tam też istniało rozw. z wykorzystaniem tego samego lematu, ale tutaj to było jak na dłoni, a tam dojście do tego wcale nie było proste, a wzorcówka z Fermata wcale nie była "z kapelusza".

[Ponewor]

Nawiasem mówiąc pierwsze zadanie też nietrudne, tylko wzorcówkowe przekształcenia "z nikąd" należy zastąpić obliczeniem delty i tyle.

[Marcinek665]

No pierwsze wyjątkowo na zachętę. Z drugim moje zmagania były trochę nieregulaminowe, bo zanim poznałem treść, już słyszałem plotki, że idzie z prawa wzajemności reszt kwadratowych, więc kminienia za bardzo nie było. Nie wiem, czy wpadłbym na to w trakcie zawodów. No a trzecie to typowe zadanie na rozkminę (sprzeczałbym się, czy robialne przy ograniczeniu się do 5h), którego oczywiście nie rozkminiłem

Mimo wszystko czytając wzorcówki, ma się wrażenie "jakie to proste i piękne", więc finał chyba na odpowiednim poziomie. I warto trochę obronić drugie, bo jednak finał jest finałem i jakąś szerszą wiedzę z matmy już wypada mieć.

[Ponewor]

Z ostatnim się zgadzam. Jak ktoś chce być laureatem, to wypada takie rzeczy znać.
A odnośnie ostatniego: dowód, że tak skonstruowany okrąg spełnia warunki zadania to trywiał, ale wymyślić tą konstrukcję...-- 18 kwi 2013, o 09:25 --Oczywiście nie muszę chyba pisać, że będę rad jak wstawicie zadania z dnia drugiego, gdy tylko będzie się dało.

[patry93]

Trzecie jest piękne <3.
Ciekawe, co przyniesie dzisiejszy dzień : )

[Marcinek665]

Jak mi Vax wyśle, to wstawię xD