LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

[adamm]

Nie w sensie:
\(\displaystyle{ \forall_x f(x)(f(x)+1)=0 \Rightarrow\left[ \left( \forall_x f(x)=0\right) \vee \left( \forall_x f(x)=1\right)\right]}\)

I właśnie w tym duchu pisałem tamtą odpowiedź.

W prezentowanym rozwiązaniu jest to drugie, czyli prawidłowe wynikanie.

Zgadza się, ale nie wiem w czym problem, chyba odebrałeś tamtą odpowiedź jako krytykę, podczas gdy miała tylko naświetlić dosyć typowe niedomówienie.

[Qń]

Zgadza się, ale nie wiem w czym problem, chyba odebrałeś tamtą odpowiedź jako krytykę, podczas gdy miała tylko naświetlić dosyć typowe niedomówienie.

A to przepraszam, nie zrozumiałem Twoich intencji.

Q.

[dedeluszz]

A w zadaniu 8 czy taka funkcja spełnia warunki zadania ?

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{\left[ \left|cos \right| \right] }{2}}\)

?

Albo w ogóle zamiast cos taka sama funkcja sinus ?
Albo zamiast 2 w mianowniku dowolna liczba większa od 1 ?? :]

[Panda]

Każda funkcja stała przyjmująca zero... argumentem podłogi musiałby być cały ułamek, to wtedy tak - Twoja funkcja byłaby stała równa zero

[viader]

Dzięki Świstak za radę, już wiem o co tam chodzi .

[dedeluszz]

no tak to całość w cesze (tak to się piszę) --> nieznajomość latexa

[nobuddy]

Pochwalę się rozwiązaniem funkcyjnego, które wg. mnie jest dość ciekawe, choć nie najkrótsze (Panda )

Zadanie 8:    

Najpierw obliczam że \(\displaystyle{ f(0)=0 \vee f(0)=-1}\) chociażby poprzez podstawienie \(\displaystyle{ x=y=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=f(0)}\); \(\displaystyle{ y=-f(0)}\).
Nie wykluczyłem drugiego przypadku, najpierw wziąłem że \(\displaystyle{ f(0)=0}\), wtedy po podstawieniu \(\displaystyle{ y=-x}\) mam \(\displaystyle{ f(x)^2-f(x)+f(2x)=0}\).

Traktuję to jako równanie kwadratowe. Jeśli \(\displaystyle{ f(2x) \ge 1/4}\) dla pewnego x, to równanie to nie będzie mieć rozwiązań rzeczywistych, co jest niemożliwe bo f(x) jest określona na wszystkich liczbach rzeczywistych, tak więc jest \(\displaystyle{ f(x) \le 1/4}\).

Wyznaczam z tamtego równania \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1 \pm \sqrt{1-4f(2x)} }{2}}\), łatwo odrzucam przypadek że na górze jest dodawanie, bo wtedy musiałoby być \(\displaystyle{ f(x) \ge \frac{1}{2}}\).

Skoro \(\displaystyle{ f(x) \le 1/4}\) to \(\displaystyle{ \frac{1 - \sqrt{1-4f(2x)} }{2} \le 1/4}\) skąd po przekształceniach \(\displaystyle{ f(2x) \le 3/16}\) czyli zawężyliśmy ograniczenie z góry. Następnie pokazuję, że zachodzi w ogólności \(\displaystyle{ f(x) \le a \Rightarrow f(x) \le a-a^2}\), przy tym \(\displaystyle{ a-a^2<a}\) dla każdego \(\displaystyle{ a \neq 0}\). Jako że zaczynamy z \(\displaystyle{ a=1/4}\) to powyższy krok można kontynuować w nieskończoność finalnie otrzymując \(\displaystyle{ f(x) \le 0}\).

Jednakże dla \(\displaystyle{ y=x}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)^2=f(x+f(2x)) \le 0}\), skąd \(\displaystyle{ f(x)=0}\). Dla \(\displaystyle{ f(0)=-1}\) napisałem że sposób działania jest analogiczny, wystarczy użyć odpowiednio podstawień \(\displaystyle{ y=-x-1}\) i \(\displaystyle{ y=x+1}\) w miejsce użytych wcześniej, i też dojdziemy tego że funkcja jest stała i równa zero, co jest sprzeczne bo f(0)=-1.

[Panda]

Wow, fajne. A myślałem, że jest tylko jedno, a tu już trzy

Mam tylko wątpliwość, bo się nie znam - czy nie trzeba udowodnić, że to \(\displaystyle{ a}\) nie zbiega gdzieś wyżej niż w zerze?

Aa, bym zapomniał. Popraw tam na początku w argumentach, \(\displaystyle{ 0}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\)

[Mruczek]

8:    

Mamy \(\displaystyle{ f(0)=0}\).
\(\displaystyle{ f(f(x))=f(-x)}\)
\(\displaystyle{ f(f(-x))=f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(f(f(x)))=f(f(-x))=f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(f(x))=f(-x)}\), podstawmy tu \(\displaystyle{ x=f(x)}\), mamy \(\displaystyle{ f(f(f(x)))=f(-f(x))}\),
\(\displaystyle{ f(x)=f(-f(x))}\).
Do początkowego podstawmy: \(\displaystyle{ -f(x),0}\),
otrzymamy \(\displaystyle{ 0=f(x)+f(x)^{2}}\), \(\displaystyle{ f(x)^{2}=-f(x)}\)
Podstawmy: \(\displaystyle{ -f(x), f(x)}\), mamy \(\displaystyle{ 2f(x)=f(-2f(x))}\)
Podstawmy: \(\displaystyle{ -f(x), -f(x)}\), mamy \(\displaystyle{ f(-x)=-f(x)}\)
Czyli także \(\displaystyle{ -2f(x)=f(2f(x))}\)
Podstawmy: \(\displaystyle{ f(x), -f(x)}\), otrzymamy \(\displaystyle{ f(x)=0}\).

Mógłby ktoś sprawdzić, czy jest poprawnie?

[ares41]

podstawmy tu \(\displaystyle{ x=f(x)}\)

A dlaczego można tak podstawić ?

[cyberciq]

nobuddy,

Najpierw obliczam że \(\displaystyle{ f(x)=0 \vee f(x)=-1}\) chociażby poprzez podstawienie \(\displaystyle{ x=y=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=f(0); y=-f(0)}\)

Tam powinno być \(\displaystyle{ f(0)=0 \vee f(0)=-1}\) prawda?

[Panda]

Pewnie prawda, i jeszcze jedna literówka, \(\displaystyle{ f(x) \le a \Rightarrow f(x) \le a-a^2}\), nie \(\displaystyle{ f(x) \le a \Rightarrow f(x) \le a^2-a}\).

[nobuddy]

Tam powinno być \(\displaystyle{ f(0)=0 \vee f(0)=-1}\) prawda?

Tak, literówka przy pisaniu.

Pewnie prawda, i jeszcze jedna literówka, \(\displaystyle{ f(x) \le a \Rightarrow f(x) \le a-a^2}\), nie \(\displaystyle{ f(x) \le a \Rightarrow f(x) \le a^2-a}\).

To też, nie jestem pewien czy przy samym pisaniu rozwiązania na czysto nie popełniłem tego właśnie błędu, chociaż tu w sumie to, że kolejne przybliżenie jest niższe od poprzedniego jest tym bardziej widoczne. Martwi mnie też, że przy podnoszeniu tam do kwadratu nie napisałem że \(\displaystyle{ 1-2a>0}\) a to jest ważne, bo inaczej chyba podnieść do kwadratu nie wolno, czas pokaże ile dostanę punktów...

Mam tylko wątpliwość, bo się nie znam - czy nie trzeba udowodnić, że to \(\displaystyle{ a}\) nie zbiega gdzieś wyżej niż w zerze?

Też się nad tym zastanawiałem, ale w końcu nic z tym nie zrobiłem. Może możnaby dać takie wyjaśnienie:

Dodatek do zadania 8:    

\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1} - a _{n-1}^2}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n}=k}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n-1} - a _{n-1}^2=k}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n-1}=k}\)

skąd \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } -a_{n-1}^2=0}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n-1}=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ k=0}\)

Nie jestem na 100% pewien poprawności tego, bo coś zbyt prosto to wygląda

[Sylwek]

Też się nad tym zastanawiałem, ale w końcu nic z tym nie zrobiłem. Może możnaby dać takie wyjaśnienie:

Dodatek do zadania 8:    

\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1} - a _{n-1}^2}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n}=k}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n-1} - a _{n-1}^2=k}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n-1}=k}\)

skąd \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } -a_{n-1}^2=0}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_{n-1}=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ k=0}\)

Nie jestem na 100% pewien poprawności tego, bo coś zbyt prosto to wygląda

To prawda, przy założeniu, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) ma granicę. Jest malejący i ograniczony z góry przez 0, więc ma, ale tego nie napisałeś, a to ważne. Może nie tak ważne, jakbyś np. założył, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wielomianem, ale w pewnym sensie idea błędu podobna

W tym rozwiązaniu można było zrobić tak: \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}}\), następnie pokazać (podobnie, jak robiłeś to wyżej) implikację: \(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb{R}} \ f(x) \le a_n \Rightarrow \forall_{x \in \mathbb{R}} \ f(x) \le a_{n+1}}\) (indukcja), a ten ciąg ma oczywistą granicę = 0, no i w końcu przejście graniczne zachowuje słabe nierówności, czyli \(\displaystyle{ f(x) \le 0}\). Ostatnim krokiem będzie wykluczenie wartości ujemnych, tak jak to właśnie zrobiłeś.

Sylwku - mylisz się - taka sytuacja jest niezgodna z prawem i raczej nie może mieć miejsca, już mówię dlaczego. Poczta Polska jest zobowiązana to przybicia pieczątki zgodnie z stanem faktycznym daty i godziny. Oraz jest zobowiązana umieścić taką informację przy każdym okienku. Jeśli gdzieś poczta przybija pieczątki "wstecz", to jest to działanie niezgodne z prawem.

A praktyka pokazuje, że na poczcie w Warszawie 2 godziny po terminie można było jeszcze nadać 1. serię OM. Jak macie jakiś pomysł, jak można to rozwiązać bez przedłużania "ciszy olimpijskiej", z chęcią wysłucham. Jak Was to satysfakcjonuje, mogę to nieco skrócić (np. do około 3 w nocy), bo zapomniałem, że młodzi ludzie wstają wcześniej niż studenci i o 8:00 to mogą być dawno w szkole, a z chęcią by rano poczytali rozwiązania innych (no i wrzucili swoje)

[Panda]

Czy to prawda, że w różnych okręgach z przechodzeniem do II etapu jest różnie, np. w jednych wymagają 70%, w innych niższy próg? Czy we wszystkich okręgach jest tak samo, ustalany ten sam niższy próg i od niego wszyscy w górę i nikt poniżej wchodzą?