LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

[opilo]

Czy mógłbym jutro zamieścić odpowiedzi czy ktoś jeszcze robi zadania z OM?

[luka52]

opilo, kolego - koniec I serii jest dopiero 4 października...

[norwimaj]

Nawet jeśli się skończy pierwsza seria, to chyba olimpiada będzie "aktualnie trwającym konkursem matematycznym", więc punkt III.7 regulaminu powinien mieć zastosowanie.

[luka52]

norwimaj, zadania z pierwszej serii stracą "termin ważności". Zarówno na stronie OM jak i na liście zadań zakazanych ta data jest wyraźnie zapisana.

[Emce1]

Jeszcze nikt nic nie napisał? 16 minut po północy? Panooowie, aż się boję wrzucać swoje wypociny jak taka cisza

[Panda]

No ja mam to samo

Ale dobra, tak szkicowo:
1.

Ukryta treść:    

Jak by nie robić, wychodzą 3 serie: zera, jedynki i po -1.
I: Po sprawdzeniu odpowiednich warunków (żeby przez 0 nie dzielić) dzielimy stronami, ponieważ z obu stron licznik musi być po tej samej stronie mianownika (w sensie albo większy albo mniejszy, no albo równy), wyjdzie jakaś równość bodajże liczników z mianownikami.
II: Podstawiamy \(\displaystyle{ 2a=x+y}\) itd, wychodzi nam całkiem zgrabna postać. Odejmujemy dowolną parę równań stronami, przenosimy na jedną stronę i się zwija do iloczynu przyrównanego do zera. Jeden czynnik zawsze większy od zera (zwija się do sumy kwadratów, lub jak kto woli, delta wychodzi ujemna).

2.

Ukryta treść:    

Najpierw \(\displaystyle{ mod \ 5}\)wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzysty (reszty kwadratowe, chyba jasne - jak coś opiszę), potem zakładamy, że \(\displaystyle{ x>2}\) - stąd \(\displaystyle{ mod \ 8}\) \(\displaystyle{ y}\) też musi być parzysty, a stąd już \(\displaystyle{ mod \ 3}\) wychodzi sprzeczność, bo suma daje resztę \(\displaystyle{ 2}\), a wiadomo że kwadrat daje \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ x=2}\) rozpisujemy już różnicą kwadratów, \(\displaystyle{ 5^{y} = (p-2)(p+2)}\), stąd \(\displaystyle{ p=3}\) i dalej z górki.

3.

Ukryta treść:    

6x Pitagoras - kto liczył inaczej? (ciągniemy AS,BS,CS oczywiście, stąd już chyba widać gdzie kąty wpisane oparte na średnicy)

4.

Ukryta treść:    

Chyba dość jasne, najgorzej z opisem w moim wypadku. Grupujemy po danej różnicy między \(\displaystyle{ b}\) a \(\displaystyle{ a}\), tzn dla ustalonej różnicy wyliczamy sumę i potem sumujemy po wszystkich możliwych wartościach tej różnicy. Zaś dla danej różnicy ustalamy jeszcze początkowy element, wyliczamy wartość i tak samo sumujemy - tutaj jednak składniki będą sobie równe, dlatego w tym miejscu się elegancko skróci mianownik.

Ogólnie - nie wolno pisać o innych seriach, ale poziom pierwszej oceniam na niski, nawet jak na pierwszą - ale ja bardzo się nie znam na pierwszych seriach, więc nie będę rozwijał myśli i poczekam na inne opinie

[Marcinek665]

Pochwalę się tutaj rozwiązaniem pierwszego, bo to jedyne fajne zadanie z tej serii:

Ukryta treść:    

Wobec symetrii układu możemy założyć, że \(\displaystyle{ x \ge y \ge z}\). Z pierwszego i drugiego równania mamy: \(\displaystyle{ (y+z)^3 = 8x \ge 8z = (x+y)^3 \Rightarrow z \ge x}\). Ale skoro \(\displaystyle{ x \ge z}\) i \(\displaystyle{ z \ge x}\), to \(\displaystyle{ z=x}\). Ponadto \(\displaystyle{ y}\) jest pomiędzy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\), a skoro \(\displaystyle{ x=z}\), to musi być \(\displaystyle{ x=y=z}\). Ostatecznie nasz układ przyjmuje postać równania \(\displaystyle{ x^3 = x}\), a rozwiązania to \(\displaystyle{ -1}\), \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\).

[Emce1]

Zad. 3 i 4 identycznie jak Panda, Zad. 1 niemal indentycznie jak Marcinek665, zad.2 trochę bardziej mechanicznie,

Ukryta treść:    

rozbicie na przypadki, parzyste x i nieparzyste x i naparzane modulo 5

Generalnie trudność oceniam na średnio-niską, nie podoba mi się "zachęcające" zadanie 3, zadanie 1 należy do kategorii "szybkie łatwe i przyjemne", 2 i 4 mogą być, ale nie jest to jakaś miażdżyca tętnic. Powodzenia z II serią.

[bakala12]

Ok ale w 4 wyszło \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) ?

[Panda]

Nom, a w drugim \(\displaystyle{ x=2}\) i \(\displaystyle{ y=1}\).

[bakala12]

dziękuje

[opilo]

I serię oceniam jako łatwą Zad1 i 3 sprawiło troche trudności bo 1 kombinowałem na odejmowaniu stronami i w koncu wyszło a 3 od razu nie wpadłem na Pitagorasa szukałem podobieństw

[AfroOsman]

Zrobiłem jedynie zadanie 1 i 4, w 2 coś mi wyszło, ale nie potrafiłem tego matematycznie zapisać, 3 - rozwiązałem tuż po nadesłaniu odpowiedzi. To mój pierwszy raz w OM(i ostatni), zaopatrzyłem się w cenną literaturę(Pawłoski, nie Pawłoski) i postaram się poświęcić na to sporo czasu.

[ElEski]

Pierwsze-

Ukryta treść:    

pierwiastkowanie obu stron odpowiednich równań

drugie-

Ukryta treść:    

wykazanie, że x jest parzyste, potem tylko wzór na różnicę n-tych potęg

trzecie-

Ukryta treść:    

pitagoras

czwarte-

Ukryta treść:    

echhh, dla b-a=k, k>1, suma liczb F(X) była równa 2^(k-1), to dowodziliśmy na indukcję.

[Burii]

W zadaniu \(\displaystyle{ 4}\) można również pokazać, że trójkąty \(\displaystyle{ EIS}\) i \(\displaystyle{ IFS}\) (\(\displaystyle{ I}\) to środek okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\)) są przystające, stąd teza. Jednak polecam rozwiązanie używając twierdzenia Pitagorasa.