LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

[Burii]

W trzecim można było też pokazać, że punkty te leżą na okręgu o środku S, stąd teza wychodziła.

Mógłbyś pokazać takie rozwiązanie?

[cyberciq]

Burii tak skrotowo: Rozpatrzmy okregi o środkach w A i B i promieniach odpowiednio AE i BF. Są one styczne na mocy założeń. łatwo widać, ze CD jest ich osią potęgową. Z własności osi potęgowej łatwo dowieśc, że drugi punkt przeciecia AC z okregiem (A;AE) (nazwijmy go np E')i drugi punkt przeciecia CB z okregiem (B;BF) (nazwijmy go F') jak i punkty E i F leża na jednym okregu. Jednak łatwo tez dowiesc że kat SBF=90 i SAE=90. Prosta SB jest wiec prostopadła do FF', a że FB=BF' jako promien tego samego okregu o srodku w B i FF' jest cieciwa okregu na ktorym lezą FEF'E' to SB połowi cieciwe pod katem prostym zatem przechodzi przez srodek okregu na ktorym leza FEF'E'. Analogicznie dowodzimy ze przez srodek tego okregu przechodzi SA. Przecinaja sie one oczwiscie w S wiec S to srodek owego okregu stad SF=SE c.b.d.o

[Burii]

Burii tak skrotowo: Rozpatrzmy okregi o środkach w A i B i promieniach odpowiednio AE i BF. Są one styczne na mocy założeń. łatwo widać, ze CD jest ich osią potęgową. Z własności osi potęgowej łatwo dowieśc, że drugi punkt przeciecia AC z okregiem (A;AE) (nazwijmy go np E')i drugi punkt przeciecia CB z okregiem (B;BF) (nazwijmy go F') jak i punkty E i F leża na jednym okregu. Jednak łatwo tez dowiesc że kat SBF=90 i SAE=90. Prosta SB jest wiec prostopadła do FF', a że FB=BF' jako promien tego samego okregu o srodku w B i FF' jest cieciwa okregu na ktorym lezą FEF'E' to SB połowi cieciwe pod katem prostym zatem przechodzi przez srodek okregu na ktorym leza FEF'E'. Analogicznie dowodzimy ze przez srodek tego okregu przechodzi SA. Przecinaja sie one oczwiscie w S wiec S to srodek owego okregu stad SF=SE c.b.d.o

Bardzo fajne rozwiązanie.

[Leszczu21]

Jak można było nie zrobić drugiego z twierdzenia Mihailescu?
W ogóle to drugie było jedynym ciekawym zadaniem z pierwszej serii. Nawet czwarte było banalne (po pierwszym rzucie oka na chamską funkcję spodziewałem się czegoś ambitnego, ale...). W ogóle to czy można się wypowiadać o ogólnym poziomie trudności pierwszego etapu olimpiady, nawet nie wyszczególniając zadań? Bo strasznie mnie korci i chciałbym się dowiedzieć, czy inni nienowi uczestnicy sądzą to, co ja.

[MadJack]

W zadaniu 4. musiało mi się coś pomylić po drodze, bo wyszło mi \(\displaystyle{ 2^{n-1}-2}\) O.o I tak samo jak Panda miałem problem z redakcją. Zrobiłem jeszcze zadanie 1. Natomiast trzecie pokazało mi, że naprawdę muszę przysiąść nad geometrią ^^ Ale w sumie w porównaniu do tego, jak patrzyłem na zadania z OM w zeszłym roku, to jestem w miarę zadowolony.

[luminka]

Hej, jako że to mój pierwszy post na forum chciałabym się wam przedstawić.
Mam na imię Dominika i w tym roku po raz pierwszy biorę udział w Olimpiadzie Matematycznej.
Poziom zadań z I serii zmotywował mnie do dalszego działania - chciałabym chociaż wejść do II etapu - to moje marzenie. Żałuję, że o Olimpiadzie dowiedziałam się tak późno i praktycznie robiłam zadania w noc przed terminem wysłania prac, no trudno, nie miałam czasu ich dopracować więc nie liczę na maksy ze wszystkich 4 zadań. Ale i tak jestem zadowolona że jako debiutantce udało mi się przynajmniej coś rozwiązać i wysłać. Będę próbować w II serii.
Pozdrawiam

edit: lepiej nie będę wam przedstawiać swoich rozwiązań bo się będziecie śmiać. Mogę się za to "pochwalić" że nie zauważyłam Pitagorasa i pojechałam z tym że SE i SF to promienie okręgu o środku w punkcie S. Cechą dla mnie charakterystyczną jest niezauważanie, wydawać by się mogło, najbanalniejszych rzeczy i kombinowanie jak koń pod górę.

[Swistak]

Burii tak skrotowo: Rozpatrzmy okregi o środkach w A i B i promieniach odpowiednio AE i BF. Są one styczne na mocy założeń. łatwo widać, ze CD jest ich osią potęgową. Z własności osi potęgowej łatwo dowieśc, że drugi punkt przeciecia AC z okregiem (A;AE) (nazwijmy go np E')i drugi punkt przeciecia CB z okregiem (B;BF) (nazwijmy go F') jak i punkty E i F leża na jednym okregu. Jednak łatwo tez dowiesc że kat SBF=90 i SAE=90. Prosta SB jest wiec prostopadła do FF', a że FB=BF' jako promien tego samego okregu o srodku w B i FF' jest cieciwa okregu na ktorym lezą FEF'E' to SB połowi cieciwe pod katem prostym zatem przechodzi przez srodek okregu na ktorym leza FEF'E'. Analogicznie dowodzimy ze przez srodek tego okregu przechodzi SA. Przecinaja sie one oczwiscie w S wiec S to srodek owego okregu stad SF=SE c.b.d.o

Bardzo fajne rozwiązanie.

To rozwiązanie, to jedyna fajna rzecz, która dało się wyciągnąć z pierwszej serii (ewentualnie to, co Burii pisał, o tym przystawaniu trójkątów) . Wspomnę jeszcze, że Ania Siennicka zrobiła identycznie. Ja niestety miałem ordynarne, ale skuteczne Pitagorasy ; p.

P.S. luminka, witamy na forum

[luminka]

P.S. luminka, witamy na forum

zapewne mam do czynienia z grubo ponadprzeciętnym umysłem, który bez problemu rozkminia np. Kourliandtchlika (czyli jedyną moją literaturę, oprócz B. Misia "Tajemniczej liczby e", stricte matematyczną, a której oczywiście moje zrozumienie kończy się na pierwszych pięciu stronach ;p)

Jak tak sobie czytam te wasze uzasadnienia rozwiązań, metody itd. to tak się zastanawiam - czy ja mam aż takie braki w matmie czy co, bo ja w życiu o niektórych rzeczach nie słyszałam (oprócz modulo nie modulo )...

edit: jak widzę rozrzedziłam ze 100% stężenie testosteronu na tym wątku

[Emce1]

wszystko przyjdzie z czasem i rozwiązywaniem zadań. Pod warunkiem pracy na sobą, "nie bój żaby".

[Marcinek665]

Co do trzeciego z potęgi punktu: też czasami idąc do sklepu po masło zahaczam o Nowy Jork, a potem Australię.

[Swistak]

Co do trzeciego z potęgi punktu: też czasami idąc do sklepu po masło zahaczam o Nowy Jork, a potem Australię.

Wybacz, ale nie rozumiem .

A co do ciekawych rzeczy, to przypomniało mi się, że przeprowadzając analogiczny tok rozumowania, jak ten z zadania można dojść do nietrywialnej tożsamości \(\displaystyle{ 2^{n-2}+2\cdot 2^{n-3}+3\cdot 2^{n-4}+...+(n-1)\cdot 2^0=2^n-n-1}\)

[Soks]

W OM po raz pierwszy, czasu na zadania niestety też nie miałem za wiele, ale:
1. Założenie że x jest większe lub równe y, potem już z górki, a na koniec: -1, 0 lub 1.
2. Rozdzieliłem na parzyste i nieparzyste, następnie eliminowałem po kolei i zostały mi 2 rozwiązania:
x=2 i y=1 lub x=3 i y=0
3. Naszukałem się trochę, a potem i tak inaczej zrobiłem, gdzie tam był Pitagoras w końcu?
4. Może ktoś napisać jak po kolei powinno być?

[ares41]

Czytając poprzednie posty, zastanawiam się, czy tylko ja spałowałem pierwsze

Drugie to zabawa resztami kwadratowymi według kilku różnych modułów.

Trzecie oczywiście machanie rękami wokół układu równań z Pitagorasa.

[MadJack]

ares41, zależy co rozumiesz przez spałowanie? Podstawianie na żywca?

[ares41]

Pomnożenie stronami aby otrzymać z prawej \(\displaystyle{ xyz}\) i odejmowanie/dodawanie stronami powstałych równań - każdy z każdym, potem pogrupować do iloczynu, no i z tego, że iloczyn jest równy zero wtedy tylko wtedy ....
Potem z tego wychodzi jeden przypadek, który po kolejnej zabawie z układem sprowadza się do któregoś z poprzednich.