LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
MadJack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 270
Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 35 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: MadJack » 5 paź 2011, o 00:15

Hm, to ja mniej więcej też spałowałem. Odjąłem od razu stronami, później jakoś uporządkowałem, przyrównałem i doszedłem do sprzeczności. Jeszcze wcześniej rozdzieliłem na przypadki, żeby móc dzielić przez (x-y).

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Marcinek665 » 5 paź 2011, o 00:50

ares41 pisze:Trzecie oczywiście machanie rękami wokół układu równań z Pitagorasa.
Ukryta treść:    
Gdzie tu machanie rękami ?

Do kompletu dopiszę jeszcze moje zadanie \(\displaystyle{ 2}\), bo robiłem innymi modułami, niż większość:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
paladin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 24 sty 2005, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 19 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: paladin » 5 paź 2011, o 02:14

W ramach niepotrzebnych rozrywek, jeszcze jedno okrężne rozwiązanie 1:
Ukryta treść:    

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 512 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: bakala12 » 5 paź 2011, o 07:19

Soks, w drugim było trzeba wyznaczyć dodatnie liczby całkowite spełniające ten warunek, czyli 0 odpada

Zim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 2 kwie 2009, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno / Jasło

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Zim » 5 paź 2011, o 11:12

Mi 4 chyba dość zgrabnie wyszło:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
izaizaiza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 9 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: izaizaiza » 5 paź 2011, o 12:47

A nie wiecie może czy jest szansa dostania się do 2. etapu, jeśli wyślę rozwiązania tylko z 2. i 3. listy? Zagapiłam się i dopiero od paru dni robię te zadanka, dałam sobie spokój z tą pierwszą...

Awatar użytkownika
tkrass
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1464
Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 186 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: tkrass » 5 paź 2011, o 13:23

Jest duża szansa, próg nigdy nie przekroczył 8 zadań.

opilo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 2 gru 2010, o 10:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: koszalin
Pomógł: 1 raz

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: opilo » 5 paź 2011, o 14:37

Leszczu po co w drugim stsosować jakieś nieznane twierdzenie postawiłem na najprostsze licealne sposoby ew.kongruencje,twierdzienie małe Fermata i nierówność Jensena

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: ares41 » 5 paź 2011, o 17:18

opilo, a możesz pokazać w jaki sposób zastosowałeś nierówność Jensena w drugim?

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 512 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: bakala12 » 5 paź 2011, o 18:01

ares41 pisze:opilo, a możesz pokazać w jaki sposób zastosowałeś nierówność Jensena w drugim?
Ja też się chętnie dowiem

Leszczu21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 18 gru 2009, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rz
Pomógł: 1 raz

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Leszczu21 » 5 paź 2011, o 18:46

Jak to nieznane... Znają je przynajmniej dwie osoby (ja i Mihailescu). Poza tym jest miłe, przyjemne, bywa przydatne (w LXII-I-10 też się dało parę przypadków tym rozwalić) i niektórych rzeczy nie trzeba pałować modulo. Widzę równanie diofantyczne ze zmiennymi wykładnikami potęg - myślę Mihailescu (może nie zawsze, ale to często może działać).

Awatar użytkownika
jerzozwierz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 526
Rejestracja: 22 lut 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 42 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: jerzozwierz » 5 paź 2011, o 18:48

Chyba nikt nie podał najbardziej chamskiego sposobu na pierwsze (zero myślenia), więc dla potomnych:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Swistak » 5 paź 2011, o 18:49

W zadaniu drugim dowód tego, że x musi być parzyste można było przeprowadzić z generatorów. Najpierw musimy udowodnić, że 2 jest generatorem. W tym celu dowodzimy, że \(\displaystyle{ x}\) jest generatorem \(\displaystyle{ mod \ p}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jeżeli \(\displaystyle{ p-1=q_1^{a_1}...q_k^{a_k}}\), to musi być \(\displaystyle{ x^{\frac{p-1}{q_i}}}\) nie przystaje do \(\displaystyle{ 1 \ mod \ p}\) dla dowolnego sensownego \(\displaystyle{ i}\). W naszym przypadku \(\displaystyle{ p=5}\), a \(\displaystyle{ p-1=2^2}\) i sprawdzamy, że \(\displaystyle{ 2^\frac{4}{2}}\) istotnie nie przystaje do \(\displaystyle{ 1 \ mod \ 5}\), zatem \(\displaystyle{ 2}\) istotnie jest generatorem \(\displaystyle{ mod \ 5}\). Wiemy też, że generator podniesiony do parzystych potęg od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ p-3}\) daje niezerowe reszty kwadratowe, i w dodatku są one wszystkie różne i jest ich \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\), zatem to wyczerpuje reszty kwadratowe. Zatem generator podniesiony do nieparzystej potęgi nie może dawać reszty kwadratowej, zatem \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste .
Bez jakiegoś syfnego sprawdzania ile jest \(\displaystyle{ 2^1}\) i \(\displaystyle{ 2^3}\) modulo 5 i patrzenia, że te syfy nie są resztami, poprzez wypisanie ich wszystkich .

ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 12 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: ElEski » 5 paź 2011, o 19:11

A czemu nikt nie zrobił tak drugiego:
dowodzimy, że \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste, niech \(\displaystyle{ x=2k}\) (\(\displaystyle{ k}\) naturalne).
Wówczas mamy \(\displaystyle{ 2^{2k}+ 5^{y}= Z^{2}}\) (Z można bez straty ogólności przyjąć za całkowite dodatnie, gdyż jeśli jest ujemne, to zamieniamy je na \(\displaystyle{ -Z}\))
Wówczas \(\displaystyle{ (Z- 2^{k})(Z+ 2^{k})= 5^{y}}\)
Stąd mamy, że albo każdy z czynników po lewej jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5}\)(niemożliwe, ze względu na ich różnicę), albo \(\displaystyle{ Z- 2^{k}=1, Z+ 2^{k}=5^{y}}\) (nie może być innego przypadku, z założenia bez straty ogólności, iż \(\displaystyle{ Z}\) jest dodatnie)
A patrząc na \(\displaystyle{ Z- 2^{k}=1}\), stwierdzamy, że \(\displaystyle{ Z= 2^{k}+1}\) , stąd musimy rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 2^{k+1}=5^{y}-1}\), a to rozpatrujemy w postaci wzoru na różnicę potęg...

Ja wolę takie rozwiązanie, gdyż jest intuicyjne i nie ma aż takiego zgadywania zgadywania, jakim to modulo może można by to zadanie zrobić

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

Post autor: Marcinek665 » 5 paź 2011, o 19:37

ares41 pisze:opilo, a możesz pokazać w jaki sposób zastosowałeś nierówność Jensena w drugim?
Też mnie to ciekawi. Jest również możliwość, że wymienienie MTFa i Jensena jako prostych i elementarnych twierdzeń dla licealistów to ironia xD-- 5 października 2011, 19:39 --
Swistak pisze:Bez jakiegoś syfnego sprawdzania ile jest \(\displaystyle{ 2^1}\) i \(\displaystyle{ 2^3}\) modulo 5 i patrzenia, że te syfy nie są resztami, poprzez wypisanie ich wszystkich .
To jest dylemat pomiędzy ładnym a elementarnym rozwiązaniem. Ja wybrałem elementarne, bo wiadomo, że zadanie z pierwszej serii pierwszego etapu nie będzie szło raczej niczym wyrafinowanym xD

ODPOWIEDZ